جواب بدون عنوان صفحه ۸۲ ریاضی نهم

مساحت مربع بزرگ را دو بار حساب می‌کنیم؛ یک بار با ضلع آن و یک بار با جمع مساحت چهار ناحیه‌ای که در شکل دیده می‌شوند.

روش اول: مساحت کل با ضلع مربع

ضلع مربع بزرگ برابر \(a+b\) است، پس مساحت آن برابر است با:

\[S = (a+b)(a+b) = (a+b)^2\]

روش دوم: جمع مساحت چهار ناحیه

• ناحیه‌ی \(S_1\) (نارنجی) مربعی به ضلع \(a\) است: \(S_1 = a \times a = a^2\)
• ناحیه‌ی \(S_2\) (آبی عمودی سمت راست) مستطیلی به طول \(a\) و عرض \(b\) است: \(S_2 = a \times b = ab\)
• ناحیه‌ی \(S_3\) (آبی افقی پایین) مستطیلی به طول \(a\) و عرض \(b\) است: \(S_3 = a \times b = ab\)
• ناحیه‌ی \(S_4\) (سبز گوشه‌ی پایین راست) مربعی به ضلع \(b\) است: \(S_4 = b \times b = b^2\)

مساحت مربع بزرگ برابر مجموع این چهار ناحیه است، پس:

\[S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

نتیجه‌گیری:

چون مساحت مربع بزرگ یک بار \((a+b)^2\) و یک بار \(a^2+2ab+b^2\) به دست آمد، پس:

\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\]

و درستی این اتحاد برای هر دو عدد مثبت \(a\) و \(b\) با کمک مساحت‌ها نشان داده شد.