جواب کار در کلاس صفحه ۱۲۲ ریاضی نهم

الف)

صورت و مخرج کسر بزرگ را جداگانه ساده می‌کنیم، سپس بر هم تقسیم می‌کنیم.

صورت کسر:
\[n-\frac{n^2}{n-m}=\frac{n(n-m)-n^2}{n-m}=\frac{n^2-nm-n^2}{n-m}=\frac{-nm}{n-m}\]

مخرج کسر:
\[1+\frac{m^2}{n^2-m^2}=\frac{n^2-m^2+m^2}{n^2-m^2}=\frac{n^2}{(n-m)(n+m)}\]

حالا صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:
\[\frac{-nm}{n-m}\div\frac{n^2}{(n-m)(n+m)}=\frac{-nm}{n-m}\times\frac{(n-m)(n+m)}{n^2}=\frac{-nm(n+m)}{n^2}\]

عامل مشترک \(n\) و \(n-m\) را ساده می‌کنیم:
\[=\frac{-m(n+m)}{n}\]

پس:
\[\frac{n-\frac{n^2}{n-m}}{1+\frac{m^2}{n^2-m^2}}=-\frac{m(n+m)}{n}\]

ب)

این بار صورت و مخرج را در عبارت مناسب و غیرصفر \((x+y)(x-y)\) ضرب می‌کنیم، یعنی همان کاری که در مثال صفحه ۱۲۱ انجام شد.

\[\frac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}=\frac{(x+y)(x-y)\left(\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}\right)}{(x+y)(x-y)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}\right)}\]

هر جمله را در \((x+y)(x-y)\) ضرب می‌کنیم:

صورت:
\[y(x-y)-x(x+y)=xy-y^2-x^2-xy=-x^2-y^2\]

مخرج:
\[x(x-y)+y(x+y)=x^2-xy+xy+y^2=x^2+y^2\]

پس:
\[=\frac{-x^2-y^2}{x^2+y^2}=-1\]

(چون \(x^2+y^2\neq 0\) است.)

پس:
\[\frac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}=-1\]