جواب تمرین صفحه ۱۴۳ ریاضی نهم

حل:

ابتدا حجم \(V\) و سطح کل \(S\) هر شکل را با توجه به فرمول‌های حجم و مساحت به‌دست می‌آوریم.

۱) مکعب به ضلع a

\[V=a^3,\qquad S=6a^2\]

\[\frac{V}{S}=\frac{a^3}{6a^2}=\frac{a}{6}\]

۲) کره به شعاع a

\[V=\frac{4}{3}\pi a^3,\qquad S=4\pi a^2\]

\[\frac{V}{S}=\frac{\frac{4}{3}\pi a^3}{4\pi a^2}=\frac{a}{3}\]

۳) استوانه به ارتفاع a و شعاع قاعدهٔ a

\[V=\pi a^2 \times a=\pi a^3\]

\[S=2\pi a^2+2\pi a \times a=4\pi a^2\]

\[\frac{V}{S}=\frac{\pi a^3}{4\pi a^2}=\frac{a}{4}\]

۴) استوانه به ارتفاع a و قطر قاعدهٔ a

شعاع قاعده در این حالت \(\dfrac{a}{2}\) است.

\[V=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 \times a=\frac{\pi a^3}{4}\]

\[S=2\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2+2\pi\left(\frac{a}{2}\right)a=\frac{\pi a^2}{2}+\pi a^2=\frac{3\pi a^2}{2}\]

\[\frac{V}{S}=\frac{\frac{\pi a^3}{4}}{\frac{3\pi a^2}{2}}=\frac{a}{6}\]

مقایسه:

\[\frac{a}{6}=\frac{a}{6},\qquad \frac{a}{4},\qquad \frac{a}{3}\]

بنابراین مقدار \(\dfrac{V}{S}\) برای کره \(\dfrac{a}{3}\) از همه بزرگ‌تر است.

پاسخ: نسبت \(\dfrac{V}{S}\) در کره به شعاع a بزرگ‌تر است.