مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
جستجو در منظومه

جواب تمرین صفحه ۴۲ ریاضی نهم

بازگشت به صفحه کتاب

ریاضی نهم

ریاضی نهم

صفحه ۴۲
سؤال 1

۱ـ آیا اثبات مسئلهٔ زیر معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.

مسئله: در هر مثلث، اندازهٔ زاویهٔ خارجی با مجموع اندازه‌های دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور با آن برابر است.

اثبات: مثلث متساوی‌الاضلاع ABC را در نظر می‌گیریم.

می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث \(180^\circ\) است و زوایای \(\hat{A_1}\) و \(\hat{B}\) و \(\hat{C}\) هر کدام \(60^\circ\) است؛ بنابراین

\[\hat{A_1}+\hat{A_2}=180^\circ \rightarrow \hat{A_2}=180^\circ-\hat{A_1}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\]

\[\hat{B}+\hat{C}=60^\circ+60^\circ=120^\circ \Rightarrow \hat{A_2}=\hat{B}+\hat{C}\]

شکل سؤال 1
پاسخ

اثبات معتبر نیست.

دلیل: در این اثبات فقط یک مثلث خاص، یعنی مثلث متساوی‌الاضلاع \(ABC\)، در نظر گرفته شده است. با بررسی یک حالت خاص نمی‌توان حکمی را برای همهٔ مثلث‌ها ثابت کرد. اثبات باید برای یک مثلث دلخواه انجام شود.

برای اثبات درست، مثلث دلخواه \(ABC\) را در نظر می‌گیریم و زاویهٔ خارجی را در رأس \(A\) با \(\hat{A_2}\) نشان می‌دهیم. چون \(\hat{A_1}\) و \(\hat{A_2}\) مجاور و مکمل یکدیگرند:

\[\hat{A_1}+\hat{A_2}=180^\circ \Rightarrow \hat{A_2}=180^\circ-\hat{A_1}\]

از طرفی مجموع زاویه‌های داخلی مثلث \(180^\circ\) است، یعنی \(\hat{A_1}+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\). پس:

\[\hat{A_2}=180^\circ-\hat{A_1}=\hat{B}+\hat{C}\]

و این برای هر مثلث دلخواه برقرار است.

فعالیت‌های این فصل
همه فعالیت‌های «سایر» اینجاست.

تمرین

|

صفحه ۴۲
در حال مشاهده
صفحه ۴۲