جواب کار در کلاس صفحه ۱۰۹ ریاضی نهم

الف) دستگاه \(\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=3 \end{cases}\)

ابتدا هر معادله را به صورت \(y=\) بنویسیم تا بتوانیم نقطه‌های هر خط را پیدا کنیم:

\[x-y=1 \rightarrow y=x-1\]

\[x+y=3 \rightarrow y=-x+3\]

برای هر خط چند نقطه پیدا می‌کنیم:

هر دو خط را در دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. دو خط یکدیگر را در نقطهٔ \(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) قطع می‌کنند.

برای اطمینان، مختصات این نقطه را در هر دو معادله قرار می‌دهیم:

\[2-1=1 \quad \checkmark\]

\[2+1=3 \quad \checkmark\]

پس جواب مشترک دستگاه \(x=2\) و \(y=1\) است.

ب) دستگاه \(\begin{cases} 2x-y=3 \\ x+2y=3 \end{cases}\)

ابتدا هر معادله را به صورت \(y=\) می‌نویسیم:

\[2x-y=3 \rightarrow y=2x-3\]

\[x+2y=3 \rightarrow 2y=-x+3 \rightarrow y=\frac{-x+3}{2}\]

برای هر خط چند نقطه پیدا می‌کنیم:

هر دو خط را در دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. این دو خط در نقطه‌ای بین \(x=1\) و \(x=2\) یکدیگر را قطع می‌کنند. مختصات این نقطه تقریباً \(\begin{bmatrix}1.8\\0.6\end{bmatrix}\) است. برای اطمینان از جواب دقیق، جواب را در معادله‌ها بررسی می‌کنیم. از معادلهٔ اول: \(y=2x-3\) و از معادلهٔ دوم: \(x+2y=3\). با جایگزینی \(y\) از معادلهٔ اول در معادلهٔ دوم داریم:

\[x+2(2x-3)=3 \rightarrow 5x-6=3 \rightarrow 5x=9 \rightarrow x=\frac{9}{5}\]

\[y=2\cdot\frac{9}{5}-3=\frac{3}{5}\]

پس جواب مشترک دستگاه \(x=\frac{9}{5}\) و \(y=\frac{3}{5}\) است که همان نقطهٔ برخورد دو خط است.