جواب فعالیت صفحه ۵۰ ریاضی نهم

فرض: وترهای \(AB\) و \(CD\) با هم مساوی‌اند؛ یعنی \(AB = CD\).
حکم: کمان‌های \(\widehat{AB}\) و \(\widehat{CD}\) مساوی‌اند.

اثبات:
شعاع‌های دایره با هم برابرند، پس:
\[OA = OB = OC = OD\]

حال دو مثلث \(OAB\) و \(OCD\) را در نظر می‌گیریم:
\[OA = OC \quad (\text{شعاع})\]
\[OB = OD \quad (\text{شعاع})\]
\[AB = CD \quad (\text{فرض})\]

بنابراین بنا بر حالت (ض ض ض):
\[\Delta OAB \cong \Delta OCD\]

از هم‌نهشتی این دو مثلث، زاویه‌های متناظر برابرند، پس:
\[\hat{O}_1 = \hat{O}_2\]

زاویه‌های \(\hat{O}_1\) و \(\hat{O}_2\) زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به کمان‌های \(\widehat{AB}\) و \(\widehat{CD}\) هستند و اندازهٔ هر کمان برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی روبه‌رویش است. پس:
\[\widehat{AB} = \widehat{CD}\]