جواب فعالیت صفحه ۴۴ ریاضی نهم

کادر سمت چپ:

ابتدا نام‌گذاری می‌کنیم. در مثلث صورتی، رأس بالا را \(B\)، رأس پایین‌چپ را \(A\) و رأس پایین‌راست را \(C\) می‌نامیم. در مثلث سبز، رأس بالا را \(D\)، رأس پایین‌چپ را \(E\) و رأس راست را \(F\) می‌نامیم.

با توجه به شکل، زاویه‌های \(\hat{A}=45^\circ\)، \(\hat{B}=60^\circ\)، \(\hat{C}=75^\circ\) و ضلع‌های \(AB=4\)، \(BC=4\sqrt{3}-4\) هستند.

در مثلث سبز، ضلع \(DE=4\) و زاویهٔ \(\hat{E}=60^\circ\) است. پس:

\[AB = DE = 4\]
\[\hat{B} = \hat{E} = 60^\circ\]
\[\hat{A} = \hat{D} = 45^\circ\]

بنابراین \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) و در هم‌نهشتی داریم:

\[\triangle ABC \cong \triangle DEF\]

از برابری زاویه‌های متناظر نتیجه می‌گیریم:

\[\hat{D}=45^\circ \qquad \hat{F}=\hat{C}=75^\circ\]

و از برابری ضلع‌های متناظر:

\[EF = BC = 4\sqrt{3}-4\]

یعنی ضلع پایینی مثلث سبز (بین رأس‌های \(E\) و \(F\)) برابر \(4\sqrt{3}-4\) است.

کادر سمت راست:

مثلث نارنجی را \(XYZ\) می‌نامیم که \(X\) و \(Y\) رأس‌های قاعده و \(Z\) رأس بالاست. مثلث آبی را \(UVW\) می‌نامیم که \(U\) و \(V\) رأس‌های بالایی و \(W\) رأس پایین است.

در مثلث نارنجی، \(\hat{X}=\hat{Y}=40^\circ\) است. پس \(\hat{Z}=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\)، و چون دو زاویهٔ \(X\) و \(Y\) برابرند، ضلع‌های مقابل آن‌ها هم برابرند:

\[XZ = YZ = 3\]

در مثلث آبی، \(\hat{U}=\hat{V}=40^\circ\) است. پس زاویهٔ مجهول \(\hat{W}\) برابر است با:

\[\hat{W}=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]

چون \(\hat{U}=\hat{V}\)، ضلع‌های مقابل آن‌ها برابرند. ضلع \(VW=3\) است، پس ضلع مجهول \(UW\) هم برابر \(3\) است:

\[UW = 3\]

با نگاه به زاویه‌ها و ضلع‌های متناظر، دو مثلث هم‌نهشت‌اند:

\[\triangle XYZ \cong \triangle UVW\]

پس \(\hat{W}=\hat{Z}=100^\circ\) و \(UW = XZ = 3\).