جواب کار در کلاس صفحه ۴۰ ریاضی نهم

ریاضی نهم

صفحه ۴۰

سؤال 1

به استدلال‌هایی دقت کنید که چهار دانش‌آموز برای مسئلهٔ زیر آورده‌اند:

مسئله: مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰° است.

استدلال حامد: حامد گفت یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر می‌گیریم؛ چون سه زاویه دارد و هر زاویه ۶۰° است، مجموع زاویه‌های مثلث ۱۸۰° است.

استدلال حسین: حسین چند مثلث مختلف با حالت‌های گوناگون کشید و زوایای آنها را اندازه گرفت و دید که در همهٔ آنها مجموع زوایای داخلی برابر ۱۸۰° است و نتیجه گرفت که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰° است.

استدلال مهدی: مهدی شکل روبرو را، که از مثلث‌های هم‌نهشت تشکیل شده است کشید و با مشخص کردن زاویه‌های مثلث ABC مانند شکل

استدلالی با استفاده از شکل به‌صورت زیر آورد :

\[\hat{A}_1+\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}_1+\hat{A}_3+\hat{A}_2=180^\circ\]

استدلال رضا : رضا گفت می‌دانیم که «هر خطی که دو خط موازی را قطع کند، با آنها هشت زاویه می‌سازد که مانند شکل چهار به چهار با هم مساوی‌اند».

حال مثلثی دلخواه مانند \(\Delta ABC\) را در نظر می‌گیریم؛ مانند شکل مقابل از رأس A خط d را موازی BC رسم می‌کنیم. سه زاویهٔ تشکیل شده در رأس A را با شماره‌های ۱، ۲ و ۳ نشان داده‌ایم که زاویهٔ \(\hat{A}_2\) همان زاویهٔ A در مثلث است و با در نظر گرفتن AB به عنوان مورّب داریم : \(\hat{B}=\hat{A}_1\) و با درنظرگرفتن AC به عنوان مورب داریم : \(\hat{C}=\hat{A}_3\) پس با جای‌گذاری \(\hat{A}_1\) و \(\hat{A}_3\) به ترتیب به جای \(\hat{B}\) و \(\hat{C}\) خواهیم داشت :

\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}_2+\hat{A}_1+\hat{A}_3=180^\circ\]

استدلال رضا را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی مرتّب و خلاصه کرد و بدین صورت نوشت :

\[\left\{ \begin{array}{l} d \parallel BC \\ \text{مورب } AB \end{array} \right\} \Rightarrow \hat{B}=\hat{A}_1 \qquad \left\{ \begin{array}{l} d \parallel BC \\ \text{مورب } AC \end{array} \right\} \Rightarrow \hat{C}=\hat{A}_3\]
\[\Rightarrow \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}_2+\hat{A}_1+\hat{A}_3=180^\circ\]

دربارهٔ معتبر بودن استدلال‌های این دانش‌آموزان بحث کنید.

پاسخ

نکتهٔ مهم: این سؤال از نوع «بررسی درستیِ استدلال» است و جواب عددی ندارد؛ باید دربارهٔ هر استدلال بحث کنیم.

بحث دربارهٔ استدلال‌ها:

۱ـ استدلال حامد: حامد فقط یک مثلث خاص (متساوی‌الاضلاع) را بررسی کرده است. زاویه‌های این مثلث ۶۰° است و جمع آن‌ها ۱۸۰° می‌شود، اما این فقط برای یک مثلث بررسی شده است. مثلث‌های دیگر، مثل مثلث قائم‌الزاویه یا مثلث منفرجه‌الزاویه، را نسبت به این مثلث نمی‌توان نتیجه گرفت. پس این استدلال نادرست است؛ زیرا از یک نمونهٔ خاص به همهٔ مثلث‌ها نمی‌توان حکم داد.

۲ـ استدلال حسین: حسین چند مثلث مختلف را کشید و زاویه‌ها را اندازه گرفت. اندازه‌گیری همیشه دقیق نیست و تعداد مثلث‌های بررسی‌شده هر قدر زیاد باشد، باز هم همهٔ مثلث‌ها را پوشش نمی‌دهد. پس این استدلال هم معتبر نیست؛ فقط نشان می‌دهد که حکم احتمالاً درست است.

۳ـ استدلال مهدی: مهدی با شکلی از مثلث‌های هم‌نهشت کار کرده است. در این شکل، زاویه‌های مثلث ABC کنار هم قرار می‌گیرند و تشکیل یک نیم‌صفحه، یعنی زاویهٔ ۱۸۰°، می‌دهند. استدلال او درست است، اما باید توجه کنیم که این شکل برای هر مثلث دلخواه نیست؛ یعنی باید نشان دهیم که شکل مربوط به هر مثلث دلخواه هم همین‌طور است. پس این استدلال ناقص است و تنها برای یک مثلث خاص قابل قبول است.

۴ـ استدلال رضا: رضا از یک مثلث دلخواه ABC شروع کرده است. از رأس A خطی موازی BC رسم می‌کند. سپس با استفاده از خاصیت زاویه‌های متبادل داخلی (که زاویه‌های حاصل از خط مورب روی دو خط موازی برابرند) داریم:
\[\hat{B}=\hat{A}_1 \qquad , \qquad \hat{C}=\hat{A}_3\]
و چون سه زاویهٔ \(\hat{A}_1 ، \hat{A}_2 ، \hat{A}_3\) در یک نیم‌صفحه کنار هم قرار دارند:
\[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}_2+\hat{A}_1+\hat{A}_3=180^\circ\]
این استدلال برای هر مثلث دلخواه نوشته شده و فقط از خاصیت‌های درست و شناخته‌شدهٔ خطوط موازی استفاده کرده است. پس این استدلال معتبر و درست است.

نتیجه: از میان چهار استدلال، تنها استدلال رضا کاملاً معتبر است، چون برای هر مثلث دلخواه و با دلیل منطقی نوشته شده است. استدلال حامد و حسین نادرست یا ناکافی‌اند و استدلال مهدی فقط برای یک شکل خاص کامل است.

فعالیت‌های این فصل