جواب فعالیت صفحه ۱۳۸ ریاضی نهم

حل:

الف) چون وجه‌های جانبی هرم متساوی‌الساقین هستند و M وسط BC است، پاره‌خط OM هم میانه و هم ارتفاع مثلث OBC است. یعنی \(OM \perp BC\).

ب) چون \(OM \perp BC\)، زاویهٔ \(\hat{OMB} = 90^\circ\) است. پس مثلث OBM یک مثلث قائم‌الزاویه با رأس قائمه در M است.

ج) طول ضلع قاعده \(12\,\text{cm}\) است، پس \(BM = \dfrac{12}{2} = 6\,\text{cm}\). با قضیهٔ فیثاغورس در مثلث OBM:
\[OM^2 = OB^2 - BM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\]
\[OM = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\]

د) پای ارتفاع هرم منتظم مربعی، مرکز مربع قاعده است و H روی قطرهای قاعده قرار دارد. فاصلهٔ H از ضلع BC برابر نصف ضلع قاعده است، پس \(MH \perp BC\) و
\[MH = \dfrac{12}{2} = 6\,\text{cm}\]
مثلث OMH چون \(OH \perp HM\) است، یک مثلث قائم‌الزاویه با رأس قائمه در H است.

هـ) در مثلث قائم‌الزاویهٔ OMH با قضیهٔ فیثاغورس:
\[OH^2 = OM^2 - MH^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28\]
\[OH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5/29\,\text{cm}\]

و) مساحت قاعدهٔ مربعی:
\[S = 12 \times 12 = 144\,\text{cm}^2\]
حجم هرم:
\[V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7} \approx 253/9\,\text{cm}^3\]