جواب فعالیت صفحه ۷۵ ریاضی نهم

در هر قسمت، برای گویا کردن مخرج، صورت و مخرج کسر را در یک عبارت مناسب ضرب می‌کنیم تا مخرج بدون رادیکال شود. این کار مانند ضرب در کسر \(\frac{\text{عبارت}}{\text{عبارت}}\) است که مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد.

الف) مخرج \(2\sqrt{3}\) است. با ضرب در \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) داریم:
\[\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{2\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\times 3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}\]

ب) مخرج \(\sqrt[3]{5}\) است. برای اینکه زیر رادیکال سوم، توان کامل سوم داشته باشیم، در \(\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}\) ضرب می‌کنیم:
\[\frac{2}{\sqrt[3]{5}}=\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\times\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{2\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2\sqrt[3]{25}}{5}\]

پ) ابتدا عبارت را به صورت \(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) می‌نویسیم و سپس با \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) ضرب می‌کنیم:
\[\frac{4}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}\]

ت) در این قسمت یک نکته وجود دارد: مخرج \(\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}\) است و با ضرب در هر عدد صحیحی نمی‌توان آن را به \(2\) رساند، زیرا \(9\times k\) هرگز \(8\) نمی‌شود. به نظر می‌رسد مخرج درست \(\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}\) است. با این تغییر، حل را انجام می‌دهیم:
\[\frac{2\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{2^2}}\times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{2\sqrt[3]{14}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{2\sqrt[3]{14}}{2}=\sqrt[3]{14}\]

ث) مخرج \(\sqrt{x}\) است. با ضرب در \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) داریم (\(x>0\)):
\[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\times\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2x}}{x}\]

ج) مخرج \(\sqrt[3]{z^2}\) است. برای اینکه توان زیر رادیکال سوم کامل شود، صورت و مخرج را در \(\sqrt[3]{z}\) ضرب می‌کنیم (\(z\neq 0\)):
\[\frac{5}{\sqrt[3]{z^2}}\times\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}=\frac{5\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z^3}}=\frac{5\sqrt[3]{z}}{z}\]