جواب تمرین صفحه ۵۱ ریاضی نهم

حل:

فرض: ABCD متوازی‌الاضلاع است و M، N، P، Q وسط‌های اضلاع AB، BC، DC و AD هستند.

حکم: MN = PQ

ابتدا دو مثلث BMN و DPQ را در نظر می‌گیریم.

۱ـ چون ABCD متوازی‌الاضلاع است، ضلع‌های مقابل برابرند: \(AB = DC\) و \(BC = AD\).

۲ـ M وسط AB و P وسط DC است، پس:
\[BM = \frac{AB}{2}, \quad DP = \frac{DC}{2} \Rightarrow BM = DP\]

۳ـ N وسط BC و Q وسط AD است، پس:
\[BN = \frac{BC}{2}, \quad DQ = \frac{AD}{2} \Rightarrow BN = DQ\]

۴ـ در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های مقابل برابرند، پس \(\hat{B} = \hat{D}\).

بنابراین:
\[\begin{cases} BM = DP \\ \hat{B} = \hat{D} \\ BN = DQ \end{cases} \xRightarrow{\text{ض.ز.ض}} \triangle BMN \cong \triangle DPQ \Rightarrow MN = PQ\]