جواب تمرین صفحه ۴۸ ریاضی نهم

فرض: چهارضلعی \(ABCD\) متوازی‌الاضلاع است و قطرهای \(AC\) و \(BD\) در نقطهٔ \(O\) یکدیگر را قطع کرده‌اند.

حکم: \(OA = OC\) و \(OB = OD\)

اثبات: دو مثلث \(AOB\) و \(COD\) را در نظر می‌گیریم.

• \(AB = CD\) (ضلع‌های مقابل در متوازی‌الاضلاع)
• \(AB \parallel CD\) و \(AC\) مورّب است، پس \(\hat{A}_1 = \hat{C}_1\) (زاویه‌های متبادل داخلی)
• \(AB \parallel CD\) و \(BD\) مورّب است، پس \(\hat{B}_1 = \hat{D}_1\) (زاویه‌های متبادل داخلی)

\[\begin{cases} \hat{A}_1 = \hat{C}_1 \\ AB = CD \\ \hat{B}_1 = \hat{D}_1 \end{cases} \xRightarrow{\text{ز.ض.ز}} \triangle AOB \cong \triangle COD \Rightarrow OA = OC,\quad OB = OD\]

بنابراین قطرهای هر متوازی‌الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند.