جواب فعالیت صفحه ۴۵ ریاضی نهم

روش اول: با قضیهٔ فیثاغورس

الف) قائمه بودن زاویه‌های \(\hat{C}\) و \(\hat{D}\):
نقاط A، B، C و D روی نیم‌دایره‌ای به قطر AB قرار دارند. هر زاویهٔ محاطی که رو به قطر نیم‌دایره باشد، قائمه است. پس:
\[\hat{C}=90^\circ \quad \text{و} \quad \hat{D}=90^\circ\]

ب) محاسبهٔ AC و BD:
در مثلث قائم‌الزاویهٔ ABC (با وتر AB):
\[AB^2=AC^2+BC^2 \Rightarrow 10^2=AC^2+6^2 \Rightarrow AC^2=100-36=64 \Rightarrow AC=8\]

در مثلث قائم‌الزاویهٔ ADB (با وتر AB):
\[AB^2=AD^2+BD^2\]
چون AD=6 (فاصلهٔ شهرزاد از ابتدای پل) است:
\[10^2=6^2+BD^2 \Rightarrow BD^2=64 \Rightarrow BD=8\]

بنابراین:
\[AC=8=BD \Rightarrow AC=BD\]

روش دوم: با هم‌نهشتی مثلث‌ها

مثلث‌های ACB و BDA را در نظر می‌گیریم:

\[\left\{ \begin{array}{l} \hat{C}=\hat{D}=90^\circ \\ AB=BA \quad \text{(وتر مشترک)} \\ BC=AD=6 \end{array} \right\} \Rightarrow \triangle ACB \cong \triangle BDA\]

این هم‌نهشتی به حالت «وتر و یک ضلع» مثلث‌های قائم‌الزاویه است.

از هم‌نهشتی این دو مثلث، اضلاع متناظر برابرند؛ یعنی:
\[AC=BD\]

نتیجه: هر دو روش نشان می‌دهند که \(AC=BD\)؛ یعنی ترانه و شهرزاد از پایه‌های مقابل خود به یک فاصله‌اند و حدس آن‌ها درست است.