جواب فعالیت صفحه ۱۲۰ ریاضی نهم

الف)
مخرج دو کسر یکی است، پس صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم و مخرج را همان \(x+2\) نگه می‌داریم:

\[\frac{3x+7}{x+2}+\frac{2x-3}{x+2}=\frac{3x+7+2x-3}{x+2}=\frac{5x+4}{x+2}\]

مثال عددی مشابه:

\[\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}\]

ب)
مخرج دو کسر یکی است، پس صورت‌ها را از هم کم می‌کنیم. توجه کنید که قبل از بازکردن پرانتز، علامت منفی به هر جملهٔ داخل پرانتز داده می‌شود:

\[\frac{3x+7}{x+2}-\frac{2x-3}{x+2}=\frac{3x+7-(2x-3)}{x+2}=\frac{3x+7-2x+3}{x+2}=\frac{x+10}{x+2}\]

مثال عددی مشابه:

\[\frac{9}{7}-\frac{3}{7}=\frac{9-3}{7}=\frac{6}{7}\]

ج)
ابتدا مخرج‌ها را تجزیه می‌کنیم. با اتحاد平方 تفاضل دو جمله‌ای داریم \(a^2-4=(a-2)(a+2)\). مخرج دوم \(a+2\) است، پس برای مخرج مشترک، کسر دوم را در \(a-2\) ضرب می‌کنیم:

\[\frac{a^2-20}{a^2-4}+\frac{a-2}{a+2}=\frac{a^2-20}{(a-2)(a+2)}+\frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^2-20+a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)}\]

صورت را ساده می‌کنیم:

\[=\frac{2a^2-4a-16}{(a-2)(a+2)}=\frac{2(a^2-2a-8)}{(a-2)(a+2)}\]

عبارت داخل پرانتز را تجزیه می‌کنیم: \(a^2-2a-8=(a-4)(a+2)\). پس:

\[=\frac{2(a-4)(a+2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{2(a-4)}{a-2}\]

(به شرط \(a\neq 2\) و \(a\neq -2\))

مثال عددی مشابه (مخرج‌ها متفاوت، با مخرج مشترک ۱۰):

\[\frac{7}{10}+\frac{9}{5}=\frac{7}{10}+\frac{18}{10}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}\]

د)
مخرج‌ها یکی نیستند. مخرج مشترک را \((x+2)(x+4)\) می‌گیریم؛ پس صورت کسر اول در \(x+4\) و صورت کسر دوم در \(x+2\) ضرب می‌شود:

\[\frac{2}{x+2}-\frac{x-1}{x+4}=\frac{2(x+4)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x+4)}\]

صورت را باز و ساده می‌کنیم:

\[2(x+4)-(x-1)(x+2)=2x+8-(x^2+x-2)=2x+8-x^2-x+2=-x^2+x+10\]

پس:

\[\frac{2}{x+2}-\frac{x-1}{x+4}=\frac{-x^2+x+10}{(x+2)(x+4)}\]

(به شرط \(x\neq -2\) و \(x\neq -4\))

مثال عددی مشابه:

\[\frac{1}{2}-\frac{5}{3}=\frac{3}{6}-\frac{10}{6}=\frac{3-10}{6}=-\frac{7}{6}\]