جواب کار در کلاس صفحه ۹۵ ریاضی هشتم

حل:

ابتدا زاویه‌های \(\hat{D}_1\) و \(\hat{D}_2\) را با استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث مقایسه می‌کنیم.

در مثلث \(ABD\):
\[\hat{B} + \hat{A}_1 + \hat{D}_1 = 180^\circ\]

در مثلث \(ACD\):
\[\hat{C} + \hat{A}_2 + \hat{D}_2 = 180^\circ\]

چون \(\hat{B} = \hat{C}\) (طبق فرض) و \(\hat{A}_1 = \hat{A}_2\) (چون \(AD\) نیمساز است)، پس:
\[\hat{D}_1 = \hat{D}_2\]

حالا دو مثلث \(ABD\) و \(ACD\) را بررسی می‌کنیم:

• \(\hat{A}_1 = \hat{A}_2\) ؛ چون \(AD\) نیمساز زاویهٔ \(A\) است.
• \(\overline{AD}\) ضلع مشترک دو مثلث است.
• \(\hat{D}_1 = \hat{D}_2\) ؛ که در بالا ثابت کردیم.

پس دو زاویه و ضلع بین آن‌ها در دو مثلث برابرند و طبق حالت «زاویه، ضلع، زاویه» داریم:
\[\triangle ABD \cong \triangle ACD\]

چون دو مثلث هم‌نهشت‌اند، ضلع‌های متناظر آن‌ها برابرند. ضلع \(AB\) در مثلث \(ABD\) روبه‌روی زاویهٔ \(\hat{D}_1\) و ضلع \(AC\) در مثلث \(ACD\) روبه‌روی زاویهٔ \(\hat{D}_2\) است. پس:
\[\overline{AB} = \overline{AC}\]

نتیجه: اگر در مثلثی دو زاویه برابر باشند، آن مثلث متساوی‌الساقین است.