جواب تمرین صفحه ۸۷ ریاضی هشتم

در مثلث ABC، ارتفاع AD بر BC عمود است، پس مثلث ABD و مثلث ADC هر دو قائم‌الزاویه‌اند.

ابتدا با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس در مثلث ABD، طول BD را به‌دست می‌آوریم. ضلع AB وتر است:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]
\[15^2 = 12^2 + BD^2\]
\[225 = 144 + BD^2\]
\[BD^2 = 225 - 144 = 81\]
\[BD = \sqrt{81} = 9\]

حالا در مثلث ADC، ضلع AC وتر است. طول AC را پیدا می‌کنیم. اما توجه کنید که در شکل، ارتفاع 5cm است و ضلع پایینی سمت راست با ارتفاع AD ارتباط دارد. ارتفاع را برابر 12cm و ضلع AB را 15cm می‌گیریم، و ارتفاع روی ضلع AC به عنوان قطعهٔ DC از قاعده به کار می‌رود: ارتفاع AD برابر 12cm است، پس عدد 5cm مربوط به قطعهٔ DC است. بنابراین:

\[AC^2 = AD^2 + DC^2\]
\[AC^2 = 12^2 + 5^2\]
\[AC^2 = 144 + 25 = 169\]
\[AC = \sqrt{169} = 13\]

حالا محیط مثلث را حساب می‌کنیم. طول BC برابر است با BD + DC:

\[BC = 9 + 5 = 14\]

\[\text{محیط} = AB + BC + AC = 15 + 14 + 13 = 42 \text{ cm}\]

پس محیط مثلث ABC برابر 42 سانتی‌متر است.