جواب بدون عنوان صفحه ۴۴ ریاضی (1)

زاویهٔ \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم مثلثاتی است، یعنی \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). مقدار \(\tan\alpha = \dfrac{-3}{4}\) را داریم.

ابتدا از رابطهٔ \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) برای به‌دست آوردن \(\cos\alpha\) استفاده می‌کنیم:

\[\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\left(\frac{-3}{4}\right)^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16} \Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{16}{25}\]

\[\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\]

چون زاویهٔ \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم است و در این ناحیه کسینوس منفی است:

\[\cos\alpha=-\frac{4}{5}\]

حالا سینوس را به‌دست می‌آوریم. از رابطهٔ \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) داریم:

\[\sin\alpha=\tan\alpha\times\cos\alpha=\frac{-3}{4}\times\frac{-4}{5}=\frac{3}{5}\]

برای بررسی، رابطهٔ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) را امتحان می‌کنیم:

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{-4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

و کتانژانت برابر است با:

\[\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{\frac{-3}{4}}=\frac{-4}{3}\]

پس نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ \(\alpha\) عبارت‌اند از:

\[\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{-4}{5},\qquad \cot\alpha=\frac{-4}{3}\]