جواب فعالیت صفحه ۳۰ ریاضی (1)

۱. مثلث‌های \(ABC\) و \(AEF\) را در نظر می‌گیریم.

در مثلث \(ABC\)، زاویهٔ \(B\) قائمه است و در مثلث \(AEF\)، زاویهٔ \(E\) قائمه است. زاویهٔ \(A\) هم در هر دو مثلث مشترک است. پس دو زاویه از مثلث \(ABC\) با دو زاویه از مثلث \(AEF\) برابرند و دو مثلث متشابه‌اند:
\[\triangle ABC \sim \triangle AEF\]
با توجه به تشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر است:
\[\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{AF}\]
از تساوی \(\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{EF}\) داریم:
\[AB \cdot EF = AE \cdot BC\]
با تقسیم طرفین بر \(AB \cdot AE\):
\[\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}\]
پس تساوی \(\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}\) درست است.