جواب کار در کلاس صفحه ۴۴ ریاضی (1)

ریاضی (1)

ریاضی (1) | درس سوم: روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

صفحه ۴۴

سؤال 1

۱) با فرض بامعنی بودن هر کسر، درستی هر یک از تساوی‌های زیر را بررسی کنید:

الف) \(\sin^4\theta-\cos^4\theta=\sin^2\theta-\cos^2\theta\)

\[\text{طرف چپ}=\sin^4\theta-\cos^4\theta\stackrel{\text{اتحاد مزدوج}}{=}(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\times(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\ldots\ldots\]

ب) \[\frac{1}{\cos\alpha} + \cot\alpha = \frac{\tan\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}\]
طرف راست \[= \frac{\tan\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\tan\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \ldots\ldots\ldots\ = \ldots\ldots\ldots + \ldots\ldots\ldots\]

پاسخ

الف) طرف چپ را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم:

\[\text{طرف چپ}=\sin^4\theta-\cos^4\theta\stackrel{\text{اتحاد مزدوج}}{=}(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\times(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\]

چون \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) است، داریم:

\[=(\sin^2\theta-\cos^2\theta)\times 1=\sin^2\theta-\cos^2\theta=\text{طرف راست}\]

پس تساوی درست است.

ب) طرف راست را می‌نویسیم و آن را ساده می‌کنیم:

\[\text{طرف راست} = \frac{\tan\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\tan\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

\[= \frac{1}{\cos\alpha} + \cot\alpha = \text{طرف چپ}\]

پس تساوی درست است.