جواب فعالیت صفحه ۴۰ ریاضی (1)

الف) از روی شکل، مختصات نقاط را می‌خوانیم:
\[A(2,0),\quad B(3,2),\quad E(3,0)\]

مثلث \(ABE\) در \(E\) قائم‌الزاویه است. در این مثلث:
\[AE = 3-2 = 1,\qquad BE = 2-0 = 2\]

زاویهٔ \(\alpha\) در رأس \(A\) است، پس:
\[\tan\alpha = \frac{BE}{AE} = \frac{2}{1} = 2\]

ب) شیب خط را با دو نقطهٔ \(B\) و \(C\) به‌دست می‌آوریم. مختصات \(C\) از روی شکل \(C(5,6)\) است و \(F(5,0)\) پای عمود آن است.
\[\text{شیب خط} = \frac{\text{تفاضل عرض‌ها}}{\text{تفاضل طول‌ها}} = \frac{6-2}{5-3} = \frac{4}{2} = 2\]

(اگر از دو نقطهٔ \(A\) و \(B\) هم استفاده کنیم، همین نتیجه به‌دست می‌آید: \(\frac{2-0}{3-2}=2\).)

پ) از مقایسهٔ قسمت (الف) و (ب) داریم:
\[\tan\alpha = 2 = \text{شیب خط}\]

پس تانژانت زاویه‌ای که خط با جهت مثبت محور \(x\)ها می‌سازد، برابر شیب آن خط است. دلیل این مطلب این است که در هر خط، نسبت \(\frac{\text{تفاضل عرض‌ها}}{\text{تفاضل طول‌ها}}\) همان نسبت \(\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}\) در مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که زاویهٔ \(\alpha\) در آن است، و این نسبت همان \(\tan\alpha\) است.

\draw[very thin, gray!40] (-1,-5) grid (6,7);
\draw[->] (-1,0) -- (6.3,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-5) -- (0,7.3) node[above] {$y$};
\draw[thick] (0,-4) -- (4.2,4.4);
\draw[thin] (2,0) -- (3,2) -- (3,0) -- cycle;
\draw[dashed] (3,0) -- (3,2);
\draw[dashed] (5,0) -- (5,6);
\draw[thin] (2,0) -- (5,6);
\draw (2.5,0) arc (0:63.4:0.5);
\node at (2.85,0.4) {$\alpha$};
\fill (2,0) circle (2pt) node[below left] {$A(2,0)$};
\fill (3,2) circle (2pt) node[above left] {$B$};
\fill (5,6) circle (2pt) node[above left] {$C$};
\fill (3,0) circle (2pt) node[below] {$E$};
\fill (5,0) circle (2pt) node[below] {$F$};
\fill (0,-4) circle (2pt) node[left] {$(0,-4)$};