جواب فعالیت صفحه ۴۲ ریاضی (1)

ریاضی (1)

ریاضی (1) | درس سوم: روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

صفحه ۴۲

سؤال 1

الف) اندازهٔ وتر یعنی x را بیابید و سپس مقدار عددی هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را برای زاویهٔ θ و α به‌دست آورید.

\[\sin\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{\dots}\]
\[\cos\theta = \dots\dots\dots\]
\[\tan\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dots\]
\[\cot\theta = \frac{1}{\dots} = \frac{\cos\theta}{\dots} = \dots\dots\dots\]
\[\sin\alpha = \dots\dots\dots\]
\[\cos\alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{\dots}\]
\[\tan\alpha = \frac{AB}{BC} = \dots\dots\dots\]
\[\cot\alpha = \dots\dots\dots\]

پاسخ

الف) ابتدا اندازهٔ وتر \(AC=x\) را با رابطهٔ فیثاغورس به‌دست می‌آوریم:

\[x^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\]

\[x = 5\]

حالا نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ \(\theta\) را حساب می‌کنیم:

\[\sin\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}\]
\[\cos\theta = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}\]
\[\tan\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3}{4}\]
\[\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4}{3}\]

و برای زاویهٔ \(\alpha\):

\[\sin\alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}\]
\[\cos\alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}\]
\[\tan\alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}\]
\[\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3}{4}\]