جواب بدون عنوان صفحه ۴۱ ریاضی (1)

می‌دانیم \(\cos\alpha=x=\frac{3}{7}\).

از رابطهٔ \(x^2+y^2=1\) داریم:
\[\left(\frac{3}{7}\right)^2+y^2=1 \;\Rightarrow\; y^2=1-\frac{9}{49}=\frac{40}{49} \;\Rightarrow\; y=\pm\frac{2\sqrt{10}}{7}\]
چون α در ربع چهارم است، طول نقطه مثبت و عرض نقطه منفی است، پس \(y=\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{10}}{7}\).

بنابراین:
\[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{-\frac{2\sqrt{10}}{7}}{\frac{3}{7}}=-\frac{2\sqrt{10}}{3},\qquad \cot\alpha=\frac{x}{y}=\frac{\frac{3}{7}}{-\frac{2\sqrt{10}}{7}}=-\frac{3\sqrt{10}}{20}\]

ب) می‌دانیم \(\sin\beta=y=-\frac{1}{2}\).

از رابطهٔ \(x^2+y^2=1\):
\[x^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \;\Rightarrow\; x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\]
چون β در ربع سوم است، طول نقطه منفی است، پس \(x=\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

بنابراین:
\[\tan\beta=\frac{y}{x}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad \cot\beta=\frac{x}{y}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\]