جواب بدون عنوان صفحه ۸۵ ریاضی هشتم

در هر دو شکل، مربع بزرگی داریم که ضلع آن برابر است با \(b+c\). پس مساحت این مربع در هر دو شکل یکسان است:

\[(b+c)^2\]

در هر دو شکل، چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ هم‌نهشت داخل مربع بزرگ قرار دارند. مساحت هر مثلث برابر است با:

\[\frac{1}{2}bc\]

پس مساحت هر چهار مثلث در هر دو شکل برابر است با:

\[4 \times \frac{1}{2}bc = 2bc\]

اکنون مساحت ناحیهٔ رنگی را در هر شکل پیدا می‌کنیم:

شکل سمت چپ: ناحیهٔ رنگی، مربع روی وتر است:

\[(b+c)^2 - 2bc = b^2 + 2bc + c^2 - 2bc = b^2 + c^2\]

اما مربع روی وتر، مساحتی برابر \(a^2\) دارد. بنابراین مساحت ناحیهٔ رنگی در این شکل برابر است با \(a^2\).

شکل سمت راست: ناحیهٔ رنگی، مجموع مربع‌های روی دو ضلع زاویهٔ قائمه است، یعنی:

\[b^2 + c^2\]

بنابراین:

\[\text{مساحت ناحیهٔ رنگی در شکل چپ} = a^2\]

\[\text{مساحت ناحیهٔ رنگی در شکل راست} = b^2 + c^2\]

چون هر دو شکل از یک مربع بزرگ به مساحت \((b+c)^2\) تشکیل شده‌اند و از آن یک مقدار یکسان (چهار مثلث هم‌نهشت با مجموع مساحت \(2bc\)) کم شده است، مساحت ناحیهٔ باقی‌مانده، یعنی ناحیهٔ رنگی، در هر دو شکل برابر است.

پس:

\[a^2 = b^2 + c^2\]