جواب کار در کلاس صفحه ۱۸ هندسه 3

الف) ابتدا امکان‌پذیری را بررسی می‌کنیم. ماتریس \(A\) سه ستون دارد و ماتریس \(B\) سه سطر دارد، پس \(A\times B\) تعریف می‌شود و ماتریس حاصل \(3\times 4\) است.

برای هر درایه، سطر \(i\)ام \(A\) را در ستون \(j\)ام \(B\) ضرب می‌کنیم:

\[A\times B=\begin{bmatrix}1 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -1\\ -1 & 0 & 1 & -2\\ 3 & 1 & -1 & 0\end{bmatrix}\]

سطر اول:
\[c_{11}=1\times1+(-1)\times(-1)+4\times3=1+1+12=14\]
\[c_{12}=1\times2+(-1)\times0+4\times1=2+0+4=6\]
\[c_{13}=1\times3+(-1)\times1+4\times(-1)=3-1-4=-2\]
\[c_{14}=1\times(-1)+(-1)\times(-2)+4\times0=-1+2+0=1\]

سطر دوم چون همهٔ درایه‌هایش صفر است، حاصل ضرب آن در هر ستون صفر می‌شود.

سطر سوم:
\[c_{31}=1\times1+2\times(-1)+3\times3=1-2+9=8\]
\[c_{32}=1\times2+2\times0+3\times1=2+0+3=5\]
\[c_{33}=1\times3+2\times1+3\times(-1)=3+2-3=2\]
\[c_{34}=1\times(-1)+2\times(-2)+3\times0=-1-4+0=-5\]

پس:
\[A\times B=\begin{bmatrix}14 & 6 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 2 & -5\end{bmatrix}\]

اما \(B\times A\) تعریف نمی‌شود، چون \(B\) چهار ستون دارد و \(A\) سه سطر دارد و این دو عدد برابر نیستند.

ب) ماتریس \(A\) یک \(3\times2\) و ماتریس \(B\) یک \(2\times3\) است.

\(A\times B\) تعریف می‌شود و مرتبهٔ آن \(3\times3\) است:

\[A\times B=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 2 & 1\\ 3 & -2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 5\end{bmatrix}\]
\[c_{11}=1\times2+(-1)\times3=-1,\quad c_{12}=1\times(-1)+(-1)\times0=-1,\quad c_{13}=1\times1+(-1)\times5=-4\]
\[c_{21}=2\times2+1\times3=7,\quad c_{22}=2\times(-1)+1\times0=-2,\quad c_{23}=2\times1+1\times5=7\]
\[c_{31}=3\times2+(-2)\times3=0,\quad c_{32}=3\times(-1)+(-2)\times0=-3,\quad c_{33}=3\times1+(-2)\times5=-7\]
\[A\times B=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -4\\ 7 & -2 & 7\\ 0 & -3 & -7\end{bmatrix}\]

\(B\times A\) هم تعریف می‌شود و مرتبهٔ آن \(2\times2\) است:

\[B\times A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 5\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 & -1\\ 2 & 1\\ 3 & -2\end{bmatrix}\]
\[c_{11}=2\times1+(-1)\times2+1\times3=3,\quad c_{12}=2\times(-1)+(-1)\times1+1\times(-2)=-5\]
\[c_{21}=3\times1+0\times2+5\times3=18,\quad c_{22}=3\times(-1)+0\times1+5\times(-2)=-13\]
\[B\times A=\begin{bmatrix}3 & -5\\ 18 & -13\end{bmatrix}\]

پ) ماتریس \(A\) یک \(3\times1\) و ماتریس \(B\) یک \(1\times3\) است.

\(A\times B\) تعریف می‌شود و مرتبهٔ آن \(3\times3\) است:

\[A\times B=\begin{bmatrix}1\\ -1\\ 2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & 3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 3 & 4\\ -2 & -3 & -4\\ 4 & 6 & 8\end{bmatrix}\]

\(B\times A\) هم تعریف می‌شود و مرتبهٔ آن \(1\times1\) است، یعنی یک عدد:

\[B\times A=[2\times1+3\times(-1)+4\times2]=[2-3+8]=[7]=7\]

ت) ماتریس \(A\) یک \(2\times3\) و ماتریس \(B\) یک \(3\times3\) است، پس \(A\times B\) یک ماتریس \(2\times3\) می‌شود.

ستون‌های \(B\) همه یکسان نیستند، پس برای هر درایه حساب می‌کنیم. ستون اول \(B\) برابر \((-1,-1,-1)^T\)، ستون دوم برابر \((2,2,2)^T\) و ستون سوم برابر \((-2,-2,-2)^T\) است.

سطر اول \(A\) برابر \((1,-1,0)\) است:
\[1\times(-1)+(-1)\times(-1)+0\times(-1)=0,\quad 1\times2+(-1)\times2+0\times2=0,\quad 1\times(-2)+(-1)\times(-2)+0\times(-2)=0\]

سطر دوم \(A\) برابر \((2,-1,-1)\) است:
\[2\times(-1)+(-1)\times(-1)+(-1)\times(-1)=0,\quad 2\times2+(-1)\times2+(-1)\times2=0,\quad 2\times(-2)+(-1)\times(-2)+(-1)\times(-2)=0\]

پس:
\[A\times B=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

مقایسه با اعداد حقیقی: در این قسمت \(A\neq\overline{O}\) و \(B\neq\overline{O}\)، ولی \(A\times B=\overline{O}\). پس حکم «اگر \(a\times b=0\) آنگاه \(a=0\) یا \(b=0\)» در ماتریس‌ها درست نیست. یعنی در ضرب ماتریس‌ها ممکن است حاصل ضرب دو ماتریس ناصفر، ماتریس صفر شود.