جواب بدون عنوان صفحه ۱۹ هندسه 3

ابتدا ماتریس \(B+C\) را به دست می‌آوریم:

\[B+C=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\]

طرف اول تساوی: \(A\times(B+C)\)

\[A\times(B+C)=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\]

درایه‌ها را با ضرب سطر در ستون به دست می‌آوریم:

\[=\begin{bmatrix} 1\times 3+2\times 1 & 1\times 2+2\times 4 \\ (-1)\times 3+0\times 1 & (-1)\times 2+0\times 4 \\ 2\times 3+(-1)\times 1 & 2\times 2+(-1)\times 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\]

طرف دوم تساوی: \((A\times B)+(A\times C)\)

ابتدا \(A\times B\):

\[A\times B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+4 & -1+6 \\ -1+0 & 1+0 \\ 2-2 & -2-3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ -1 & 1 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}\]

سپس \(A\times C\):

\[A\times C=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-2 & 3+2 \\ -2+0 & -3+0 \\ 4+1 & 6-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & -3 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}\]

حال دو ماتریس را با هم جمع می‌کنیم:

\[(A\times B)+(A\times C)=\begin{bmatrix} 5+0 & 5+5 \\ -1+(-2) & 1+(-3) \\ 0+5 & -5+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\]

نتیجه: چون \(A\times(B+C)=\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\) و \((A\times B)+(A\times C)=\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -2 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\) است، پس تساوی
\[A\times(B+C)=(A\times B)+(A\times C)\]
درست است.