جواب کار در کلاس صفحه ۱۹ هندسه 3

حل:

ابتدا \(A\times B\) را محاسبه می‌کنیم. هر درایهٔ \(c_{ij}\) از ضرب سطر \(i\)ام \(A\) در ستون \(j\)ام \(B\) به‌دست می‌آید.

\[A\times B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

\[c_{11}=1\times(-1)+2\times 1=-1+2=1\]
\[c_{12}=1\times(-4)+2\times 0=-4\]
\[c_{21}=(-1)\times(-1)+3\times 1=1+3=4\]
\[c_{22}=(-1)\times(-4)+3\times 0=4\]

\[A\times B=\begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\]

حال \(B\times A\) را محاسبه می‌کنیم:

\[B\times A=\begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\]

\[c_{11}=(-1)\times 1+(-4)\times(-1)=-1+4=3\]
\[c_{12}=(-1)\times 2+(-4)\times 3=-2-12=-14\]
\[c_{21}=1\times 1+0\times(-1)=1\]
\[c_{22}=1\times 2+0\times 3=2\]

\[B\times A=\begin{bmatrix} 3 & -14 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\]

مقایسه: می‌بینیم که \(A\times B\neq B\times A\).

نتیجه: در حالت کلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابه‌جایی ندارد.