جواب تمرین صفحه ۲۰ هندسه 3

۲ـ اگر

۳ـ دو ماتریس ۳×۳ مانند \(A\) و \(B\) مثال بزنید که \(AB=\mathbf{O}\) ولی \(B\neq\mathbf{O}\) و \(A\neq\mathbf{O}\).

۴ـ با یک مثال نقض نشان دهید که قانون حذف در ضرب ماتریس‌ها برقرار نمی‌باشد به عبارت دیگر نشان دهید که در حالت کلّی از تساوی \(AB=AC\) نمی‌توان نتیجه گرفت \(B=C\).

۵ـ اگر ماتریسی مربعی باشد و توان‌های \(A\) را به‌صورت \(A^3=AA^2\) و \(A^2=AA\) و ... و \(A^n=AA^{n-1}\) \((n\in\mathbb{N},\ n1)\) تعریف کنیم، در این صورت با فرض

۶ـ اگر \( A=\begin{bmatrix}4 & a\\ b & -1\end{bmatrix} \) و \( B=\begin{bmatrix}1 & -2\\ 3 & 2\end{bmatrix} \) مقادیر \( a \) و \( b \) را طوری به دست آورید که حاصل ضرب \( A\times B \) ماتریسی قطری باشد.

۷ـ اگر \( A=[a{ij}]{2\times 2} \) و \( B=[b{ij}]{2\times 2} \) به صورت زیر معرفی شده باشند، ابتدا \( A \) و \( B \) را با درایه‌هایشان نوشته و سپس \( B\times A \) و \( A\times B \) را به دست آورید.

۸ـ اگر \( A=\begin{bmatrix}r1 & 0 & 0\\ 0 & r2 & 0\\ 0 & 0 & r3\end{bmatrix} \) ماتریسی قطری باشد و \( B \) ماتریسی \( 3\times 3 \) و دلخواه باشد در این صورت ماتریس \( (A\times B) \) را تشکیل دهید. چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

۹ـ اگر \( A \) ماتریسی \( 3\times 3 \) و اسکالر باشد و \( B \) ماتریسی هم‌مرتبهٔ \( A \) در این صورت

۱۰ـ اگر \( A \) و \( B \) ماتریس‌های \( 3\times 3 \) و تعویض‌پذیر باشند (\( A\times B=B\times A \)) ثابت کنید.

۱۱ـ اگر \( A=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} \) مفروض باشد. حاصل \( A^2 \) را به دست آورید. چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟