جواب فعالیت صفحه ۷۷ ریاضیات گسسته

اگر \(f\) تابعی از مجموعهٔ \(A\) به مجموعهٔ \(B\) باشد و \(|B|=n\) و \(|A|=m\)، در این صورت برای هر \(a_i \in A\) که \(1\leq i\leq m\) می‌توان \(f(a_i)\) را به \(n\) طریق تعریف کرد \(f(a_i)=b_1\) یا \(f(a_i)=b_2\) یا \(\ldots\) یا \(f(a_i)=b_n\) و لذا طبق اصل ضرب تعداد کل توابع از \(A\) به \(B\) برابر است با: \(|B|^{|A|}=n^m\). حال اگر \(|A|=5\) و \(|B|=3\)، در این صورت می‌خواهیم تعداد توابعی چون \(f\) از \(A\) به \(B\) را تعیین کنیم به‌طوری که \(R_f=B\) (روی تمام اعضای \(B\)، پیکانی رسم شده باشد، به چنین تابع‌هایی، تابع پوشا گفته می‌شود).

۱. اگر فرض کنیم \(A=\{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}\) و \(B=\{b_1, b_2, b_3\}\) و تعریف کنیم:
\[A_1=\{f: A\to B \mid f(a_i)\neq b_1;\ 1\leq i\leq 5\}\]
\[A_2=\{f: A\to B \mid f(a_i)\neq \ldots;\ 1\leq i\leq 5\}\]
\[A_3=\{f: A\to B \mid f(a_i)\neq \ldots;\ 1\leq i\leq 5\}\]

در این صورت \(\overline{A_1}\) مجموعه‌ای شامل همه توابعی از \(A\) به \(B\) است که حداقل یک پیکان از اعضای \(A\) روی \(b_1\) می‌آورند.

شکل ۴