جواب فعالیت صفحه ۸۱ ریاضیات گسسته
بازگشت به صفحه کتابجدول زیر را (با توجه به قراردادن \(n\) کبوتر در \(n\) لانه در هر مرحله) کامل کنید و نتیجه‌گیری خود را با نتیجه داخل کادر (تعمیم اصل لانه کبوتری) مقایسه کنید.
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل \((k+1)\) کبوتر | تعداد کبوترها \((kn+1)\) | تعداد لانه‌ها \((n)\) |
|---|---|---|
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ۲ کبوتر | \(1 \times n + 1\) | \(n\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ... کبوتر | \(2 \times n + 1\) | \(n\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ۴ کبوتر | \(\ldots + 1\) | \(n\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ...... کبوتر | \(\ldots + 1\) | \(n\) |
در هر ردیف از جدول، با \(kn+1\) کبوتر و \(n\) لانه سروکار داریم. اگر \(k\) کبوتر در هر لانه باشد، با \(kn\) کبوتر هنوز ممکن است همهٔ لانه‌ها دقیقاً \(k\) کبوتر داشته باشند. کبوتر \(kn+1\)ام باعث می‌شود یکی از لانه‌ها حداقل \(k+1\) کبوتر داشته باشد.
با همین استدلال، ردیف‌های جدول را کامل می‌کنیم:
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل \((k+1)\) کبوتر | تعداد کبوترها \((kn+1)\) | تعداد لانه‌ها \((n)\) |
|---|---|---|
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ۲ کبوتر | \(1 \times n + 1\) | \(n\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ۳ کبوتر | \(2 \times n + 1\) | \(n\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل ۴ کبوتر | \(3 \times n + 1\) | \(n\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| اطمینان از وجود لانه‌ای با حداقل \((k+1)\) کبوتر | \(k \times n + 1\) | \(n\) |
نتیجه‌گیری: در ردیف آخر \(k\) را عددی طبیعی در نظر گرفتیم. اگر \(kn+1\) کبوتر در \(n\) لانه قرار گیرند، حداقل یک لانه وجود دارد که حداقل \(k+1\) کبوتر دارد. این همان تعمیم اصل لانه کبوتری است که در کادر آمده است. برای مثال، اگر \(k=1\) باشد، با \(n+1\) کبوتر حداقل یک لانه دو کبوتر دارد، که همان اصل اولیه است.
کار در کلاس
|
صفحه ۵۸فعالیت
|
صفحه ۵۹فعالیت
|
صفحه ۶۰کار در کلاس
|
صفحه ۶۱فعالیت
|
صفحه ۶۲کار در کلاس
|
صفحه ۶۳کار در کلاس
|
صفحه ۶۴کار در کلاس
|
صفحه ۶۶کار در کلاس
|
صفحه ۶۹تمرین
|
صفحه ۷۱بدون عنوان
|
صفحه ۷۴فعالیت
|
صفحه ۷۴کار در کلاس
|
صفحه ۷۵کار در کلاس
|
صفحه ۷۶فعالیت
|
صفحه ۷۷فعالیت
|
صفحه ۷۸تمرین
|
صفحه ۸۰کار در کلاس
|
صفحه ۸۰فعالیت
|
صفحه ۸۱کار در کلاس
|
صفحه ۸۲تمرین
|
صفحه ۸۳