جواب کار در کلاس صفحه ۶۳ ریاضیات گسسته

پاسخ:

یک مربع لاتین \(5\times5\) را با قاعدهٔ «درایهٔ سطر \(i\) و ستون \(j\) برابر است با باقی‌ماندهٔ \(i+j\) بر ۵، و اگر باقی‌مانده صفر شد عدد ۵ می‌نویسیم» می‌سازیم:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ 2&3&4&5&1\\ \hline \\ 3&4&5&1&2\\ \hline \\ 4&5&1&2&3\\ \hline \\ 5&1&2&3&4\\ \hline \\ 1&2&3&4&5\\ \hline \end{array}\]

هر سطر شامل اعداد ۱ تا ۵ و هر کدام فقط یک‌بار است. در هر ستون هم، با افزایش \(i\) عدد یک واحد زیاد می‌شود و به‌پیمانهٔ ۵ همهٔ باقی‌مانده‌ها یک‌بار می‌آیند، پس هیچ عددی در ستون تکرار نشده است.

مربع دوم را با قاعدهٔ «باقی‌مانده‌ی \(2i+j\) بر ۵» می‌سازیم (که در آن باقی‌مانده صفر را ۵ می‌نویسیم):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ 3&4&5&1&2\\ \hline \\ 5&1&2&3&4\\ \hline \\ 2&3&4&5&1\\ \hline \\ 4&5&1&2&3\\ \hline \\ 1&2&3&4&5\\ \hline \end{array}\]

در هر سطر، با تغییر \(j\) عدد \(2i+j\) تغییر می‌کند و همهٔ باقی‌مانده‌ها یک‌بار می‌آیند. در هر ستون، چون ۲ و ۵ نسبت به هم اول‌اند، با تغییر \(i\) مقدار \(2i\) همهٔ باقی‌مانده‌ها را یک‌بار طی می‌کند، پس ستون‌ها هم عدد تکراری ندارند.