جواب فعالیت صفحه ۶۰ ریاضیات گسسته

ریاضیات گسسته

ریاضیات گسسته | درس ۱. مباحثی در ترکیبیّات

صفحه ۶۰

سؤال 1

می‌خواهیم تعداد انتخاب‌های دلخواه ۷ شاخه گل از بین سه نوع گل را مشخص کنیم. اگر فرض کنیم $x_1$ تعداد انتخاب‌ها از گل نوع اول و $x_2$ تعداد انتخاب‌ها از گل نوع دوم و $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ تعداد $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$ باشد، در این صورت می‌بایست جمع انتخاب‌ها از سه نوع گل، برابر با ۷ باشد یعنی $x_1+x_2+\cdots=\ldots$ با توجه به اینکه هر جواب صحیح و نامنفی این معادله نشان‌دهندهٔ یک انتخاب هفت‌تایی از سه نوع گل بوده و برعکس هر انتخاب هفت‌تایی از این سه نوع گل یک جواب صحیح و نامنفی برای این معادله است جدول صفحه بعد را کامل کرده و سپس تعداد جواب‌های معادله را به‌دست آورید.

تعداد انتخاب‌ها از گل نوع اول $x_1$	تعداد انتخاب‌ها از گل نوع دوم $x_2$	تعداد انتخاب‌ها از گل نوع سوم $x_3$	$x_1+x_2+x_3=7$
۱	۰	۶	$7=1+0+6$
۱	۱	۵	$7=1+1+5$
...	...	...	$7=1+2+4$
...	۷	...	...............
...	۴	۲	...............
...	...	...	...............

تعداد جواب‌های صحیح و نامنفی معادلهٔ $x_1+x_2+x_3=7$ برابر است با تعداد انتخاب‌های دلخواه ۷ شاخه گل از بین سه نوع گل یعنی،

\[\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{\dots}{\dots}=\dots\]

پاسخ

الف) جای خالی‌ها را در متن پر می‌کنم:

اگر فرض کنیم $x_1$ تعداد انتخاب‌ها از گل نوع اول، $x_2$ تعداد انتخاب‌ها از گل نوع دوم و $x_3$ تعداد انتخاب‌ها از گل نوع سوم باشد، در این صورت جمع انتخاب‌ها از سه نوع گل باید برابر با ۷ باشد؛ یعنی $x_1+x_2+x_3=7$.

ب) جدول را کامل می‌کنم:

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_1+x_2+x_3=7$
1	0	6	$7=1+0+6$
1	1	5	$7=1+1+5$
1	2	4	$7=1+2+4$
0	7	0	$7=0+7+0$
1	4	2	$7=1+4+2$
3	3	1	$7=3+3+1$

پ) تعداد جواب‌ها را به دست می‌آوریم:

هر جواب صحیح و نامنفی معادلهٔ $x_1+x_2+x_3=7$ یک انتخاب ۷ شاخه‌ای از سه نوع گل است و برعکس. پس تعداد جواب‌ها برابر تعداد انتخاب‌های دلخواه ۷ شاخه گل از بین ۳ نوع گل است.

در این مسئله $n=7$ (تعداد شاخه‌های انتخابی) و $k=3$ (تعداد نوع گل) است. طبق فرمول:

\[\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{7+3-1}{3-1}=\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!\times 7!}=\frac{9\times 8}{2}=36\]

پس معادلهٔ $x_1+x_2+x_3=7$ دارای ۳۶ جواب صحیح و نامنفی است.

فعالیت‌های این فصل

صفحه ۸۳

جواب تمرین صفحه ۸۳ ریاضیات گسسته

صفحه ۶۰

\(x_1\)	\(x_2\)	\(x_3\)	\(x_1+x_2+x_3=7\)
1	0	6	\(7=1+0+6\)
1	1	5	\(7=1+1+5\)
1	2	4	\(7=1+2+4\)
0	7	0	\(7=0+7+0\)
1	4	2	\(7=1+4+2\)
3	3	1	\(7=3+3+1\)