جواب فعالیت صفحه ۷ ریاضی (1)

نکته‌ای درباره صورت سؤال: بازهٔ \((1,0)\) تعریف نمی‌شود، چون در بازه باید کوچک‌تر را اول بنویسیم و \(0<1\). پس بازهٔ مورد نظر را \((0,1)\) در نظر می‌گیریم.

الف) عدد \(\frac{1}{3}\) در بازهٔ \((0,1)\) است. چهار عدد گویای دیگر در این بازه را می‌توان این‌طور پیدا کرد:
\[\frac{1}{4},\quad \frac{1}{5},\quad \frac{2}{3},\quad \frac{3}{7}\]
همهٔ این عددها از ۰ بزرگ‌ترند و از ۱ کوچک‌تر، پس در بازهٔ \((0,1)\) قرار دارند. جواب‌های من با جواب‌های دوستانم فرق می‌کند، ولی همه درست هستند. برای مقایسه باید بررسی کنیم که هر عدد گویا بین ۰ و ۱ باشد.

ب) بله. مثلاً عددهای \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots\) را در نظر بگیرید. برای هر عدد طبیعی \(n\) بزرگ‌تر از ۱، کسر \(\frac{1}{n}\) بین ۰ و ۱ است و این کسرها با هم فرق دارند. چون تعداد عددهای طبیعی بی‌نهایت است، می‌توانیم به هر تعداد دلخواه عدد گویا بین ۰ و ۱ پیدا کنیم.

پ) تعداد اعضای مجموعهٔ اعداد گویای موجود در \((0,1)\) یک عدد حسابی نیست، پس این مجموعه نامتناهی است.

ت) مجموعهٔ \(\mathbb{Q}\) شامل همهٔ عددهای طبیعی \(1,2,3,\dots\) است و تعداد آن‌ها بی‌نهایت است. پس \(\mathbb{Q}\) یک مجموعهٔ نامتناهی است.

ث) اگر \(A\) یک زیرمجموعهٔ نامتناهی داشته باشد، آنگاه \(A\) یک مجموعهٔ نامتناهی خواهد بود. دلیلش این است که اگر \(A\) متناهی بود، هر زیرمجموعهٔ آن هم متناهی می‌شد.