جواب تمرین صفحه ۲۴ ریاضی (1)

حل:

دنباله‌ی حسابی است اگر تفاضل هر جمله با جملهٔ قبلی‌اش همیشه یک عدد ثابت باشد. قدرنسبت را حساب می‌کنیم و جملهٔ بیست‌ویکم را با فرمول \(t_n = t_1 + (n-1)d\) به دست می‌آوریم.

الف) \(3, 10, 17, 24, \ldots\)
\[d = 10 - 3 = 7\]
\[t_{21} = 3 + (21-1)(7) = 3 + 140 = 143\]
این دنباله حسابی است.

ب) \(1, 2, 4, 8, \ldots\)
تفاضل‌ها: \(2-1=1\)، \(4-2=2\)، \(8-4=4\). چون تفاضل‌ها ثابت نیستند، این دنباله حسابی نیست.

پ) \(\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 4\sqrt{3}, \ldots\)
\[d = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\]
\[t_{21} = \sqrt{3} + (20)(\sqrt{3}) = 21\sqrt{3}\]
این دنباله حسابی است.

ت) \(10, 7, 4, 1, \ldots\)
\[d = 7 - 10 = -3\]
\[t_{21} = 10 + (20)(-3) = 10 - 60 = -50\]
این دنباله حسابی است.

ث) \(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 1, \ldots\)
\[d = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\]
\[t_{21} = \frac{2}{5} + (20)\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} + \frac{20}{5} = \frac{22}{5}\]
این دنباله حسابی است.

ج) \(2, 2, 2, 2, \ldots\)
\[d = 2 - 2 = 0\]
\[t_{21} = 2 + (20)(0) = 2\]
این دنباله حسابی است (با قدرنسبت صفر).

نتیجه: دنباله‌های الف، پ، ت، ث و ج حسابی‌اند و جمله‌های بیست‌ویکم آن‌ها به ترتیب \(143\)، \(21\sqrt{3}\)، \(-50\)، \(\frac{22}{5}\) و \(2\) است. دنباله‌ی ب حسابی نیست.