جواب فعالیت صفحه ۱۱۲ ریاضی (1)

تشخیص نمودارها

ابتدا هر قطعه از نمودار را با ضابطهٔ تابع مقایسه می‌کنیم:

• نمودار اول: خطی افقی به عرض ۵ برای \(x<-1\) با دایرهٔ توخالی در \((-1,5)\). این قطعه از تابع \(h\) است، پس نمودار اول مربوط به \(h\) است.
• نمودار دوم: خطی افقی به عرض \(-1\) برای \(x>0\) با دایرهٔ توخالی در \((0,-1)\). این قطعه از تابع \(f\) است، پس نمودار دوم مربوط به \(f\) است.
• نمودار سوم: خط \(y=-x\) از نقطهٔ توپر \((-4,4)\) تا نقطهٔ توخالی \((1,-1)\). این قطعه از تابع \(g\) است، پس نمودار سوم مربوط به \(g\) است.

کامل کردن نمودارها

قسمت‌های ناقص هر تابع را اضافه می‌کنیم:

• در \(f\): برای \(x<0\) مقدار تابع \(2\) است، پس خط \(y=2\) را برای \(x<0\) با دایرهٔ توخالی در \((0,2)\) رسم می‌کنیم.
• در \(g\): برای \(x>1\) داریم \(y=x-4\)، پس از \((1,-3)\) با دایرهٔ توخالی خط را ادامه می‌دهیم. برای \(x=1\) مقدار \(\dfrac{5}{2}\) است، پس نقطهٔ توپر \(\left(1,\dfrac{5}{2}\right)\) را می‌گذاریم.
• در \(h\): برای \(2\leq x\leq 3\) داریم \(y=2x\)، پس پاره‌خط از \((2,4)\) تا \((3,6)\) را با نقطه‌های توپر رسم می‌کنیم.

دامنه و برد

• تابع \(f\): \(f\) در \(x=0\) تعریف نشده است، پس
  \[D_f=\mathbb{R}-\{0\} \qquad R_f=\{-1,\ 2\}\]

• تابع \(g\): دامنه از سه قسمت \([-4,1)\)، \(\{1\}\) و \((1,\infty)\) به دست می‌آید، یعنی
  \[D_g=[-4,\infty)\]
  برد هر قسمت را جداگانه پیدا می‌کنیم:
• برای \(x>1\): \(y=x-4>-3\)، پس بازهٔ \((-3,\infty)\).
• برای \(x=1\): \(y=\dfrac{5}{2}\).
• برای \(-4\leq x<1\): \(y=-x\) و \(-1<y\leq 4\)، پس بازهٔ \((-1,4]\).

اجتماع این سه مجموعه برابر \((-3,\infty)\) است، پس
\[R_g=(-3,\infty)\]

• تابع \(h\): دامنه از دو قسمت \((-\infty,-1)\) و \([2,3]\) تشکیل شده است، پس
  \[D_h=(-\infty,-1)\cup[2,3]\]
  برای \(2\leq x\leq 3\) داریم \(4\leq 2x\leq 6\)، و برای \(x<-1\) مقدار تابع \(5\) است. پس
  \[R_h=[4,6]\cup\{5\}=[4,6]\]