جواب کار در کلاس صفحه ۱۱۵ ریاضی (1)

الف) برای تشخیص هر نمودار، رأس سهمی و جهت باز شدن آن را با ضابطهٔ تابع مقایسه می‌کنیم. در تابع درجهٔ دوم به شکل \(y=a(x-p)^2+q\)، رأس نمودار نقطهٔ \((p,q)\) است و اگر \(a>0\) باشد سهمی رو به بالا و اگر \(a<0\) باشد سهمی رو به پایین است.

• \(f(x)=(x-5)^2-2\): رأس \((5,-2)\)، رو به بالا. رأس در سمت راست محور \(y\)ها و زیر محور \(x\)هاست. این نمودار، سبز رنگ (سومین نمودار) است.
• \(g(x)=(x+1)^2-1\): رأس \((-1,-1)\)، رو به بالا. رأس در سمت چپ محور \(y\)ها و زیر محور \(x\)هاست. این نمودار، نارنجی رنگ (اولین نمودار) است.
• \(h(x)=(x-3)^2+1\): رأس \((3,1)\)، رو به بالا. رأس در سمت راست محور \(y\)ها و بالای محور \(x\)هاست. این نمودار، بنفش رنگ (چهارمین نمودار) است.
• \(t(x)=-(x+1)^2+3\): رأس \((-1,3)\)، رو به پایین. رأس در سمت چپ محور \(y\)ها و بالای محور \(x\)هاست. این نمودار، آبی رنگ (دومین نمودار) است.

ب) دامنهٔ هر تابع درجهٔ دوم که به‌صورت جبری داده شده و دامنه‌اش مشخص نشده، مجموعهٔ اعداد حقیقی است، پس برای هر چهار تابع:
\[D_f=D_g=D_h=D_t=\mathbb{R}\]

برد را از روی رأس و جهت باز شدن سهمی به دست می‌آوریم:

• برای \(f\): سهمی رو به بالاست و کمترین مقدار آن عرض رأس، یعنی \(-2\)، است. پس \(R_f=[-2,+\infty)\).
• برای \(g\): سهمی رو به بالاست و کمترین مقدار آن \(-1\) است. پس \(R_g=[-1,+\infty)\).
• برای \(h\): سهمی رو به بالاست و کمترین مقدار آن \(1\) است. پس \(R_h=[1,+\infty)\).
• برای \(t\): سهمی رو به پایین است و بیشترین مقدار آن \(3\) است. پس \(R_t=(-\infty,3]\).