جواب کار در کلاس صفحه ۱۰۱ ریاضی (1)

۱) جدول را کامل می‌کنیم. محیط مربع برابر است با چهار برابر طول ضلع: \(P = 4 \times a\).

• طول ضلع \(\frac{3}{2}\): \(4 \times \frac{3}{2} = 6\)
• طول ضلع \(2\): \(4 \times 2 = 8\)
• برای ستون پنجم یک طول ضلع مثل \(3\) را انتخاب می‌کنیم: \(4 \times 3 = 12\)
• ستون آخر طول ضلع \(5\) است، چون محیط آن \(20\) داده شده: \(4 \times 5 = 20\)

نمایش به‌صورت زوج مرتب:
\[f=\left\{\left(\tfrac{1}{2},2\right),\ (1,4),\ \left(\tfrac{3}{2},6\right),\ (2,8),\ (3,12),\ (5,20)\right\}\]

چرا این رابطه تابع است؟ چون به هر طول ضلع فقط یک محیط نسبت داده می‌شود. هیچ طول ضلعی دو محیط مختلف ندارد، پس در مجموعهٔ \(f\) هیچ دو زوج مرتبی با مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت وجود ندارد.

دامنه و برد:
\[\text{دامنه } f=\left\{\tfrac{1}{2},\ 1,\ \tfrac{3}{2},\ 2,\ 3,\ 5\right\}\]
\[\text{برد } f=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 20\}\]

۲) الف) مجموعه‌های \(A=\{1,2,3\}\) و \(B=\{a,b\}\) را در نظر می‌گیریم. رابطهٔ زیر تابع است، چون به هر عضو \(A\) فقط یک عضو از \(B\) نسبت داده شده است:
\[f=\{(1,a),\ (2,a),\ (3,b)\}\]
دامنهٔ این تابع \(\{1,2,3\}\) (سه عضو) و برد آن \(\{a,b\}\) (دو عضو) است.

ب) نه، چنین تابعی وجود ندارد. در یک تابع هر عضو دامنه فقط یک تصویر دارد، پس تعداد اعضای برد نمی‌تواند از تعداد اعضای دامنه بیشتر شود. اگر دامنه دو عضو داشته باشد، برد حداکثر دو عضو دارد و نمی‌تواند سه عضو باشد.

۳) نه، همیشه برابر نیست. مثال:
\[A=\{1,2,3\},\quad B=\{a,b,c\}\]
تابع \(f=\{(1,a),\ (2,a),\ (3,b)\}\) را در نظر بگیرید. دامنهٔ \(f\) برابر \(A\) است، اما عضو \(c\) از \(B\) هیچ زوج مرتبی ندارد و در برد نیست. پس برد \(f\) برابر \(\{a,b\}\) است و با \(B\) برابر نیست.