جواب کار در کلاس صفحه ۱۱۳ ریاضی (1)

الف) نمودار تابع \(f\)

ضابطهٔ \(f\) برای \(x>0\) برابر \(x^2\) و برای \(x\le 0\) برابر \(3x+1\) است. پس نمودار را در دو قسمت رسم می‌کنیم:

• برای \(x\le 0\) نمودار خط \(y=3x+1\) است و در \(x=0\) نقطهٔ توپر \((0,1)\) روی آن قرار دارد.
• برای \(x>0\) نمودار سهمی \(y=x^2\) است و نقطهٔ \((0,0)\) چون \(x=0\) در این قسمت نیست، توخالی رسم می‌شود.

دامنهٔ \(f\): همهٔ \(x\) ها در ضابطه‌ها پوشش داده شده‌اند، پس \(D_f=\mathbb{R}\).

برد \(f\):

• برای \(x>0\): \(x^2>0\)، پس مقادیر \((0,+\infty)\) هستند.
• برای \(x\le 0\): \(3x+1\le 1\)، پس مقادیر \((-\infty,1]\) هستند.

\[R_f=(-\infty,1]\cup(0,+\infty)=\mathbb{R}\]

ب) نمودار تابع \(g\)

• برای \(x>2\): خط \(y=2x-5\) رسم می‌شود. در \(x=2\) مقدار \(-1\) است، پس نقطهٔ \((2,-1)\) توخالی است.
• برای \(-3<x\le 2\): خط افقی \(y=1\) رسم می‌شود. در \(x=-3\) توخالی و در \(x=2\) توپر است.
• برای \(x\le -3\): خط \(y=-\frac{1}{2}x\) رسم می‌شود. در \(x=-3\) مقدار \(\frac{3}{2}\) است و نقطهٔ \(\left(-3,\frac{3}{2}\right)\) توپر است.

دامنهٔ \(g\): \(D_g=\mathbb{R}\).

برد \(g\):

• برای \(x>2\): \(2x-5>-1\)، پس مقادیر \((-1,+\infty)\) هستند.
• برای \(-3<x\le 2\): فقط عدد \(1\) است، که در \((-1,+\infty)\) هم هست.
• برای \(x\le -3\): \(-\frac{1}{2}x\ge \frac{3}{2}\)، پس مقادیر \([\frac{3}{2},+\infty)\) هستند که در \((-1,+\infty)\) قرار دارند.

\[R_g=(-1,+\infty)\]

پ) محاسبهٔ مقادیر خواسته‌شده

• \(f(0)\): چون \(0\le 0\)، از ضابطهٔ \(3x+1\) استفاده می‌کنیم: \(f(0)=3(0)+1=1\).
• \(g(0)\): چون \(-3<0\le 2\)، داریم \(g(0)=1\).
• \(f(5)\): چون \(5>0\)، داریم \(f(5)=5^2=25\).
• \(g(2)\): چون \(-3<2\le 2\)، داریم \(g(2)=1\).
• \(f(-2)\): چون \(-2\le 0\)، داریم \(f(-2)=3(-2)+1=-5\).
• \(g\left(-\frac{1}{5}\right)\): چون \(-3<-\frac{1}{5}\le 2\)، داریم \(g\left(-\frac{1}{5}\right)=1\).