جواب بدون عنوان صفحه ۲۹ هندسه 3

حل:

طبق تعریف دترمینان ماتریس \(2\times2\) داریم:
\[A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow |A|=ad-bc\]

اگر به جای \(|A|\) مقدار \(t\) قرار دهیم، تساوی داده‌شده به صورت زیر درمی‌آید:
\[|A|^2-5|A|+6=0 \Rightarrow t^2-5t+6=0\]

این معادله درجه دوم را با تجزیه حل می‌کنیم:
\[t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0\]
\[\Rightarrow t=2 \quad \text{یا} \quad t=3\]

پس \(|A|\) باید یکی از دو عدد \(2\) یا \(3\) باشد، یعنی:
\[ad-bc=2 \qquad \text{یا} \qquad ad-bc=3\]

بنابراین اعداد \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\) را می‌توان به بی‌نهایت روش انتخاب کرد، به شرط آنکه \(ad-bc\) برابر \(2\) یا \(3\) شود. برای مثال:

الف) اگر \(a=2\)، \(b=0\)، \(c=0\) و \(d=1\) باشد، آنگاه
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow |A|=2\times1-0\times0=2\]

ب) اگر \(a=3\)، \(b=0\)، \(c=0\) و \(d=1\) باشد، آنگاه
\[A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow |A|=3\times1-0\times0=3\]

پس اعداد حقیقی \(a\)، \(b\)، \(c\) و \(d\) باید طوری باشند که \(ad-bc=2\) یا \(ad-bc=3\) شود.