جواب بدون عنوان صفحه ۲۳ هندسه 3

ابتدا وارون ماتریس \(A=\begin{bmatrix}1&2\\4&1\end{bmatrix}\) را با فرمول دترمینان حساب می‌کنیم:

\[|A|=1\times1-2\times4=1-8=-7\]

چون \(|A|\neq 0\) پس وارون دارد:

\[A^{-1}=\frac{1}{-7}\times\begin{bmatrix}1&-2\\-4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{bmatrix}\]

(توجه: در مثال کتاب، دترمینان \(1\times1-2\times4\) برابر \(-7\) است و نه \(2\)، پس جواب درست همین است.)

حالا پاسخ را امتحان می‌کنیم، یعنی \(A\times A^{-1}\) را حساب می‌کنیم:

\[A\times A^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{7}+\frac{8}{7}&\frac{2}{7}-\frac{2}{7}\\-\frac{4}{7}+\frac{4}{7}&\frac{8}{7}-\frac{1}{7}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\]

پس جواب درست است.