جواب بدون عنوان صفحه ۲۰ هندسه 3

۴ـ ابتدا حاصل \(B\times C\) را محاسبه می‌کنیم. ماتریس‌ها \(B_{2\times 2}\) و \(C_{2\times 2}\) هستند، پس \(B\times C\) یک ماتریس \(2\times 2\) است:

\[B\times C=\begin{bmatrix}1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & 3\\ -1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times 2+(-1)\times(-1) & 1\times 3+(-1)\times 1\\ 2\times 2+3\times(-1) & 2\times 3+3\times 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 2\\ 1 & 9\end{bmatrix}\]

سپس \(A\times(B\times C)\) را حساب می‌کنیم. ماتریس \(A_{3\times 2}\) در ماتریس \(2\times 2\) ضرب می‌شود و حاصل \(3\times 2\) است:

\[A\times(B\times C)=\begin{bmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\\ 2 & -1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}3 & 2\\ 1 & 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times 3+2\times 1 & 1\times 2+2\times 9\\ (-1)\times 3+0\times 1 & (-1)\times 2+0\times 9\\ 2\times 3+(-1)\times 1 & 2\times 2+(-1)\times 9\end{bmatrix}\]

\[=\begin{bmatrix}5 & 20\\ -3 & -2\\ 5 & -5\end{bmatrix}\]

حالا طرف دوم تساوی یعنی \((A\times B)\times C\) را محاسبه می‌کنیم. ابتدا \(A\times B\):

\[A\times B=\begin{bmatrix}1 & 2\\ -1 & 0\\ 2 & -1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times 1+2\times 2 & 1\times(-1)+2\times 3\\ (-1)\times 1+0\times 2 & (-1)\times(-1)+0\times 3\\ 2\times 1+(-1)\times 2 & 2\times(-1)+(-1)\times 3\end{bmatrix}\]

\[=\begin{bmatrix}5 & 5\\ -1 & 1\\ 0 & -5\end{bmatrix}\]

سپس این ماتریس \(3\times 2\) را در \(C\) ضرب می‌کنیم:

\[(A\times B)\times C=\begin{bmatrix}5 & 5\\ -1 & 1\\ 0 & -5\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & 3\\ -1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\times 2+5\times(-1) & 5\times 3+5\times 1\\ (-1)\times 2+1\times(-1) & (-1)\times 3+1\times 1\\ 0\times 2+(-5)\times(-1) & 0\times 3+(-5)\times 1\end{bmatrix}\]

\[=\begin{bmatrix}5 & 20\\ -3 & -2\\ 5 & -5\end{bmatrix}\]

دو طرف تساوی یک ماتریس یکسان شدند:

\[A\times(B\times C)=(A\times B)\times C=\begin{bmatrix}5 & 20\\ -3 & -2\\ 5 & -5\end{bmatrix}\]

پس تساوی \(A\times(B\times C)=(A\times B)\times C\) برای این ماتریس‌ها درست است.