جواب کار در کلاس صفحه ۳۲ ریاضی (1)

ریاضی (1)

ریاضی (1) | درس اول: نسبت‌های مثلثاتی

صفحه ۳۲

سؤال 1

به کمک شکل فعالیت قبل، با پیدا کردن نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های \(30^\circ\) و \(60^\circ\)، جدول زیر را کامل کنید (در صورت لزوم، مخرج کسرها را گویا کنید).

مقدار	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin A\)	...	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	...
\(\cos A\)	...	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	...
\(\tan A\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)
\(\cot A\)	\(\sqrt{3}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

پاسخ

در مثلث متساوی‌الاضلاع \(ABC\) با ضلع ۲، پاره‌خط \(AM\) میانه و نیمساز و ارتفاع است، پس \(BM=MC=1\) و زاویهٔ \(M\) قائمه است.

با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABM\):
\[AM^2=AB^2-BM^2=2^2-1^2=3\]
\[AM=\sqrt{3}\]

زاویهٔ \(30^\circ\): در مثلث \(ABM\)، زاویهٔ \(A\) برابر \(30^\circ\) است. ضلع مقابل به این زاویه \(BM=1\)، ضلع مجاور \(AM=\sqrt{3}\) و وتر \(AB=2\) است. پس:
\[\sin 30^\circ=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}\]
\[\cos 30^\circ=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

زاویهٔ \(60^\circ\): در همین مثلث، زاویهٔ \(B\) برابر \(60^\circ\) است. ضلع مقابل به آن \(AM=\sqrt{3}\)، ضلع مجاور \(BM=1\) و وتر \(AB=2\) است. پس:
\[\sin 60^\circ=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\cos 60^\circ=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}\]

با قرار دادن این مقدارها در جدول:

مقدار	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin A\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos A\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\tan A\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)
\(\cot A\)	\(\sqrt{3}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)