جواب کار در کلاس صفحه ۶۴ ریاضیات گسسته

الف) مربع \(3\times 3\)

مربع لاتین داده شده:
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1&2&3\\ \hline 2&3&1\\ \hline 3&1&2\\ \hline \end{array}\]

جایگشت را روی اعداد \(1,2,3\) چنین انتخاب می‌کنیم:
\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\]
یعنی \(1\to 2\)، \(2\to 3\) و \(3\to 1\).

با جایگزینی هر عدد در مربع اول طبق این جایگشت، مربع جدید به دست می‌آید:
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 2&3&1\\ \hline 3&1&2\\ \hline 1&2&3\\ \hline \end{array}\]

هر سطر و هر ستون این مربع سه عدد متفاوت دارد، پس مربع لاتین است.

ب) مربع \(4\times 4\)

مربع لاتین داده شده:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 2&1&4&3\\ \hline 4&3&2&1\\ \hline 3&4&1&2\\ \hline 1&2&3&4\\ \hline \end{array}\]

جایگشت را چنین انتخاب می‌کنیم:
\[\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}\]
یعنی \(1\leftrightarrow 2\) و \(3\leftrightarrow 4\).

با جایگزینی اعداد طبق این جایگشت، مربع جدید:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1&2&3&4\\ \hline 3&4&1&2\\ \hline 4&3&2&1\\ \hline 2&1&4&3\\ \hline \end{array}\]

در هیچ سطر و هیچ ستونی عدد تکراری نیست، پس این مربع هم یک مربع لاتین است.

پ) مربع \(5\times 5\)

مربع لاتین داده شده:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1&3&5&4&2\\ \hline 5&4&2&1&3\\ \hline 2&1&3&5&4\\ \hline 3&5&4&2&1\\ \hline 4&2&1&3&5\\ \hline \end{array}\]

جایگشت را چنین انتخاب می‌کنیم:
\[\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{pmatrix}\]
یعنی \(1\to 2\)، \(2\to 3\)، \(3\to 4\)، \(4\to 5\) و \(5\to 1\).

با جایگزینی اعداد طبق این جایگشت، مربع جدید:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 2&4&1&5&3\\ \hline 1&5&3&2&4\\ \hline 3&2&4&1&5\\ \hline 4&1&5&3&2\\ \hline 5&3&2&4&1\\ \hline \end{array}\]

هر سطر و هر ستون شامل اعداد \(1\) تا \(5\) و هر کدام فقط یک بار است، پس این مربع نیز لاتین است.