جواب کار در کلاس صفحه ۳ ریاضیات گسسته

الف) اثبات مستقیم (گزارهٔ درست)

هر عدد فرد را می‌توان به صورت \(2m+1\) نمایش داد که \(m\) عددی صحیح است. فرض کنید دو عدد فرد \(2m+1\) و \(2k+1\) باشند. در این صورت داریم:

\[(2m+1)+(2k+1)=2m+2k+2=2(m+k+1)\]

چون \(m+k+1\) عددی صحیح است، حاصل \(2(m+k+1)\) عددی زوج است. پس گزارهٔ الف در حالت کلی درست است.

ب) مثال نقض (گزارهٔ نادرست)

برای \(x=1\) و \(y=1\) داریم:

\[\sqrt{x+y}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}=1+1=2\]

چون \(\sqrt{2}\neq 2\)، این تساوی برای همهٔ عددهای حقیقی برقرار نیست. پس گزارهٔ ب رد می‌شود.

پ) مثال نقض (گزارهٔ نادرست)

برای \(n=2\) و \(n=3\) داریم \(2^2-1=3\) و \(2^3-1=7\) که هر دو اول هستند. اما برای \(n=4\) داریم:

\[2^4-1=16-1=15=3\times 5\]

حاصل عددی اول نیست. پس گزارهٔ پ در حالت کلی درست نیست و با مثال نقض \(n=4\) رد می‌شود.

ت) اثبات مستقیم (گزارهٔ درست)

فرض کنید \(\dfrac{a}{b}\) و \(\dfrac{c}{d}\) دو عدد گویا باشند، که در آن \(a,b,c,d\) عددهای صحیح و \(b\neq 0\)، \(d\neq 0\) هستند. در این صورت:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\]

چون \(ad+bc\) و \(bd\) عددهای صحیح هستند و \(bd\neq 0\)، حاصل جمع به صورت یک کسر با صورت و مخرج صحیح نوشته شده است. پس مجموع دو عدد گویا عددی گویاست و گزارهٔ ت درست است.

ث) مثال نقض (گزارهٔ نادرست)

مجموعه‌های زیر را در نظر بگیرید:

\[A=\{1,2\} \qquad B=\{1\} \qquad C=\{2\}\]

داریم:

\[A\cup B=\{1,2\} \qquad A\cup C=\{1,2\}\]

پس \(A\cup B=A\cup C\) است، اما \(B\neq C\). بنابراین گزارهٔ ث رد می‌شود.

ج) اثبات مستقیم (گزارهٔ درست)

دو عدد طبیعی متوالی را با \(n\) و \(n+1\) نمایش می‌دهیم. پس:

\[k=n(n+1)\]

حال \(4k+1\) را محاسبه می‌کنیم:

\[4k+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2\]

چون \(2n+1\) عددی طبیعی است، \(4k+1\) مربع کامل است. پس گزارهٔ ج درست است.