جواب کار در کلاس صفحه ۶ ریاضیات گسسته

الف) فرض کنیم \(x\) عددی گنگ باشد. می‌خواهیم ثابت کنیم \(\dfrac{1}{x}\) گنگ است.

فرض خلف: \(\dfrac{1}{x}\) گنگ نباشد، پس عددی گویا است. یعنی \(\dfrac{1}{x}\in\mathbb{Q}\).

از طرفی می‌دانیم که عدد \(0\) گویاست، پس \(x\neq 0\) و \(\dfrac{1}{x}\neq 0\). معکوس هر عدد گویای ناصفر هم عددی گویاست. بنابراین:
\[x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}\in\mathbb{Q}\]
یعنی \(x\) عددی گویا است، که با فرض ما (\(x\) گنگ است) در تناقض است.

در نتیجه فرض خلف باطل است و حکم اثبات می‌گردد: \(\dfrac{1}{x}\) عددی گنگ است.

ب) فرض کنیم تابع \(f\) در \(x=a\) پیوسته باشد، تابع \(g\) در \(x=a\) ناپیوسته باشد، ولی \(f+g\) در \(x=a\) ناپیوسته نباشد، یعنی \(f+g\) در \(x=a\) پیوسته باشد (فرض خلف).

می‌دانیم که تفاضل دو تابعِ پیوسته در یک نقطه، در آن نقطه پیوسته است. پس:
\[g=(f+g)-f\]
و چون \(f+g\) و \(f\) هر دو در \(x=a\) پیوسته‌اند، تابع \(g\) در \(x=a\) پیوسته است. یعنی:
\[\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a}\big((f+g)(x)-f(x)\big)=(f+g)(a)-f(a)=g(a)\]

این نتیجه با فرض ما (\(g\) در \(x=a\) ناپیوسته است) در تناقض است.

در نتیجه فرض خلف باطل است و حکم اثبات می‌گردد: \(f+g\) در \(x=a\) ناپیوسته است.