مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
که به وضوح نشان می‌دهد، حاصل یک عدد اول نیست. همین «مثال نقض» نشان می‌دهد که ٔ گزاره ب در حالت کلی درستنیست. این روش استدالل به صورت معمول برای رد کردن یک حکم کلی به کار می‌رود و استدالل به کمک «مثال نقض»است.در مورد گزاره الف با اینکه نمی‌توانید مثال نقضی ارائه کنید، ّ ام ا درستی گزاره با ارائه مثال به دست نمی‌آید. مثال ً یک احتمالاین است که نتوانید مثال نقضی ارائه کنید و یا اینکه تاکنون مثال نقضی برای آن ارائه نشده باشد. به هر حال در اینجا اثباتدشوار نیست. کافی است سه عدد طبیعی را با n ، n + 1 و n + 2 نمایش دهیم. در این صورت داریم:1(+ n 3) = 3 + n 3 = 2 + n + 1 + n + nکه نشان می‌دهد گزاره الف در حالت کلی درست است.این نوع اثبات کردن را «اثبات مستقیم» می‌نامند. البته اثبات مستقیم ممکن است کامال ً پیچیده باشد. هدف این کتاب طرحاثبات های دشوار نیست . 1 محتوای آموزش این درس در چارچوب مطالبی است که تاکنون آموخته اید. در کار در کالسنمونه هایی از استدالل به روش «اثبات مستقیم» و استدالل به کمک «مثال نقض» را مشاهده خواهید کرد.کار در کالسهریک از گزاره های زیر را اثبات و یا با ارائه مثال نقض رد کنید.الف) مجموع هر دو عدد فرد، عددی زوج است.ب) برای هر دو عدد حقیقی x و y : x + y = x + yپ) برای هر عدد طبیعی بزرگ تر از ،1 عدد 2 n - 1 اول است.ت) مجموع هر دو عدد گویا، عددی گویاست.ث) اگر برای سه مجموعه A ، B و C داشته باشیم C B = A A آنگاه B = Cج) اگر k حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آنگاه 4 k + 1 مربع کامل است.خواندنییافتن مثال نقض ممکن است کار بسیار دشواری باشد. گاهی سال ها وقت برای یافتن مثال نقض الزم بودهاست. به طور مثال عبارت 991 n 2 + 1 را برای n های طبیعی درنظر بگیرید. اگر حاصل این عبارت را بـرایn = 1 ، n = 2 ، … و n = 1000 به دست آورید هیچ کدام مجذور کامل نمی‌باشند. آیا به نظر شما می‌توان حکمکرد که «برای n های طبیعی عبارت 991 n 2 + 1 هیچ گاه مجذور کامل نیست.» پاسخ منفی است! سرپینسکیریاضی دان معاصر لهستانی، کوچک ترین عدد طبیعی که به ازای آن 991 n 2 + 1 مجذور کامل باشد را ارائهکرد. این عدد 29 رقم دارد! عدد n = 12055735790331359447442538737 مثال نقض موردنظراست.ــ1 طرح مسائل در ارزشیابی ها باید در سطح مطالب کتاب باشد. طرح مسائل پیچیده که نیاز به دانش محتوایی سطح باال دارند مورد تأیید مؤلفین نیست.3 درس اول: استدالل ریاضی