مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
اثبات با درنظر گرفتن همه حالت هاگاهی برای اثبات یک گزاره الزم است ٔ همه موارد ممکن درمورد مسئله را درنظر بگیریم. به مثال زیر توجه کنید.مثال: ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n ، n 2 - 5 n + 7 عددی فرد است.حل: دو حالت در اینجا ممکن است رخ دهد:الف) n زوج است، به عبارت دیگر n = 2 k( ∈ k)؛ در این حالت داریم:1 + 6 + k 10 - 2 k 4 = 7 + k(2 n 2 - 5 n + 7 = (2 k) 2 - 5)که حاصل یک عدد فرد است.ب) n فرد است، یعنی = 2 k - 1 (n ∈ k)؛ در این حالت هم داریم:7 + 5 + k 10 - 1 + k 4 - 2 k 4 = 7 + (1 - k 2 n 2 - 5 n + 7 = (2 k - 1) 2 - 5)1 + = 4 k 2 - 14 k + 13 = 2 (2 k 2 - 7 k + 6)که باز هم حاصل یک عدد فرد است.به عبارت دیگر زوج یا فرد بودن n ، فرد بودن n 2 - 5 n + 7 را نتیجه می‌دهد.اگر زوج بودن n را با p و فرد بودن n را با q و فرد بودن n 2 - 5 n + 7 را با r نمایش دهیم، حکم را می‌توان به صورت گزارهr ⇒ q ∨ p نمایش داد. با توجه به هم ارزی (r ⇒ q(∧) r ⇒ p) ≡ r ⇒ q ∨ p ٔ شیوه اثبات در مثال فوق توجیه می‌شود.q(∨)p ∼ ∨ r ≡ r ⇒ q ∨ pq(∼ ∧ p)∼ ∨ r ≡q(∼ ∨)r ∧ p(∼ ∨ r) ≡r(⇒)q ∧ r(⇒)p ≡به طریق مشابه، برای هر تعداد متناهی ٔ گزاره دلخواه داریم:(r ⇒ n P( ∧) r ⇒ 2 P(∧) r ⇒ 1 P) ≡ r ⇒ n P ∨ 2 P ∨ 1 Pنوع دیگری از درنظر گرفتن حالت های ممکن، در مثال زیر ارائه شده است.مثال: ثابت کنید اگر a و b دو عدد حقیقی باشند و ab = 0 آنگاه a = 0 یا . b = 0حل: برای a دو حالت ممکن است رخ دهد:الف) اگر = 0 ،a در این حالت حکم برقرار است (چرا؟)ب) اگر ≠0 ،a در این حالت a -1 (معکوس a) یک عدد حقیقی است و با ضرب طرفین رابطه ab = 0 در a -1 داریم:0 × 1 − a = (ab 1) − a ⇒ 0 = ab0 = b ⇒بنابراین در هر دو حالت حکم برقرار است.فصل ا ّ و ل: آشنایی با نظریه اعداد 4