جواب تمرین صفحه ۱۶ ریاضیات گسسته

۲. ثابت کنید: اگر \( a|b \) آنگاه \( a|-b \) و \( -a|b \) و \( -a|-b \).

۳. اگر \( a1 \) و \( a|9k+4 \) و \( a|5k+3 \)، ثابت کنید \( a \) عددی اول است.

۴. اگر عددی مانند \( k \) در \( \mathbb{Z} \) باشد به‌طوری که \( 4k+1|5 \)، ثابت کنید: \( 25|16k^2+28k+6 \)

۵. آیا از اینکه \( a|b \) و \( c|d \)، همواره می‌توان نتیجه گرفت که \( a+c|b+d \)؟

۶. ثابت کنید: الف) هر دو عدد صحیح و متوالی نسبت به هم اول‌اند. ب) هر دو عدد صحیح و فرد متوالی نسبت به هم اول‌اند.

۷. اگر \( p\neq q \) و \( p \) و \( q \) هر دو عدد اول باشند ثابت کنید \( (p,q)=1 \).

۸. اگر \( a,b\in\mathbb{Z} \) و \( m,n\in\mathbb{N} \) ثابت کنید:

۹. اگر باقی‌ماندۀ تقسیم عدد \( a \) بر دو عدد ۷ و ۸ به‌ترتیب ۵ و ۷ باشد، باقی‌ماندۀ تقسیم عدد \( a \) را بر ۵۶ بیابید.

۱۰. اگر \( a \) عددی صحیح و فرد باشد و \( b|a+2 \) در این صورت باقی‌ماندۀ تقسیم عدد \( (3+a^2+b^2) \) بر ۸ را بیابید.

۱۱. اگر \( n \) عددی صحیح باشد ثابت کنید \( 3|n^2-n \).

۱۲. اگر در یک تقسیم، مقسوم و مقسوم‌علیه، هر دو بر عدد صحیح \(n\) بخش‌پذیر باشند، ثابت کنید باقی‌ماندهٔ تقسیم نیز همواره بر \(n\) بخش‌پذیر است.

۱۳. اگر \(a\) عددی صحیح و دلخواه باشد ثابت کنید همواره یکی از اعداد صحیح \(a+2\) یا \(a+4\) بر ۳ بخش‌پذیر است.

۱۴. ثابت کنید تفاضل مکعب‌های دو عدد صحیح متوالی عددی فرد است.

۱۵. ثابت کنید حاصل ضرب سه عدد صحیح متوالی همواره بر \(3!\) بخش‌پذیر است.

۱۶. حاصل هر یک را به دست آورید: \((m \in \mathbb{Z})\)