جواب کار در کلاس صفحه ۱۳ ریاضیات گسسته

الف) می‌خواهیم نشان دهیم \(d=|a|\) همان ب م م دو عدد \(a\) و \(b\) است. طبق تعریف باید دو شرط را بررسی کنیم.

چون \(a|b\) و \(a\) عددی ناصفر است، \(|a|\) عددی طبیعی است.

شرط (الف): \(|a|\,|\,a\) و \(|a|\,|\,b\)

چون \(|a|=a\) یا \(|a|=-a\)، پس \(|a|\) هر دو حالت \(a\) و \(-a\) را می‌شمارد و در نتیجه \(|a|\,|\,a\).
از طرفی \(a|b\) است و \(|a|\) نیز \(a\) را می‌شمارد، پس طبق خاصیت تعدی \(|a|\,|\,b\).

شرط (ب): برای هر \(m>0\) اگر \(m|a\) و \(m|b\) آنگاه \(m\le |a|\)

چون \(m|a\) و \(a\neq 0\)، طبق ویژگی ۴ داریم \(m\le |a|\).

پس \(|a|\) از هر مقسوم‌علیه مشترک مثبت دلخواه بزرگ‌تر یا مساوی است و طبق تعریف:
\[(a,b)=|a|\]

ب) می‌خواهیم نشان دهیم \(c=|b|\) همان ک م م دو عدد \(a\) و \(b\) است. (چون ک م م برای عددهای ناصفر تعریف می‌شود، \(b\neq 0\) است.)

چون \(b\neq 0\)، \(|b|\) عددی طبیعی است.

شرط (الف): \(a|\,|b|\) و \(b|\,|b|\)

چون \(a|b\) و \(|b|=b\) یا \(|b|=-b\)، پس \(a|\,|b|\).
و چون \(|b|\) برابر \(b\) یا \(-b\) است، \(b|\,|b|\).

شرط (ب): برای هر \(m>0\) اگر \(a|m\) و \(b|m\) آنگاه \(|b|\le m\)

چون \(b|m\) و \(m\neq 0\)، طبق ویژگی ۴ داریم \(|b|\le |m|=m\).

پس \(|b|\) از هر مضرب مشترک مثبت دلخواه کوچک‌تر یا مساوی است و طبق تعریف:
\[[a,b]=|b|\]