جواب کار در کلاس صفحه ۸ ریاضیات گسسته

الف) اگر \(n\) زوج باشد، آنگاه \(n=2k\) \((k\in\mathbb{N})\) و داریم:
\[n^2=(2k)^2=2(2k^2)\]
پس \(n^2\) هم زوج است.

برعکس، اگر \(n^2\) زوج باشد، باید \(n\) زوج باشد. برای این کار حالت فرد بودن \(n\) را بررسی می‌کنیم. اگر \(n\) فرد باشد، یعنی \(n=2k-1\) \((k\in\mathbb{N})\)، آنگاه:
\[n^2=(2k-1)^2=4k^2-4k+1=2(2k^2-2k)+1\]
که عددی فرد است. این با زوج بودن \(n^2\) در تناقض است. پس \(n\) نمی‌تواند فرد باشد و در نتیجه زوج است.

بنابراین:
\[n \text{ زوج است} \Leftrightarrow n^2 \text{ زوج است}\]
و این دو گزاره هم‌ارزند.

ب) فرض کنیم \(M\) وسط پاره‌خط \(AB\) باشد. عمود منصف \(AB\) خطی است که از \(M\) می‌گذرد و بر \(AB\) عمود است.

گزارهٔ ۱ را \(P\) و گزارهٔ ۲ را \(Q\) می‌نامیم.

\[P \Rightarrow Q:\]
اگر \(C\) روی عمود منصف \(AB\) باشد، آنگاه در مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ \(CMA\) و \(CMB\) داریم: \(MA=MB\) (چون \(M\) وسط \(AB\) است)، ضلع \(CM\) مشترک است و زاویه‌های \(CMA\) و \(CMB\) قائمه‌اند. پس دو مثلث هم‌نهشت‌اند و \(CA=CB\).

\[Q \Rightarrow P:\]
اگر \(CA=CB\) باشد، در مثلث‌های \(CAM\) و \(CBM\) داریم: \(CA=CB\)، \(MA=MB\) و ضلع \(CM\) مشترک است. پس دو مثلث هم‌نهشت‌اند (به حالت \(ض ض ض\)) و زاویه‌های \(CMA\) و \(CMB\) برابرند. چون مجموع این دو زاویه \(180^\circ\) است، هر کدام \(90^\circ\) هستند. بنابراین \(CM\) بر \(AB\) عمود است و از \(M\) می‌گذرد، یعنی \(C\) روی عمود منصف \(AB\) قرار دارد.
(اگر \(C=M\) باشد، نقطه \(C\) خود وسط \(AB\) است و روی عمود منصف قرار دارد.)

پس:
\[P \Leftrightarrow Q\]
و دو گزاره هم‌ارزند.