جواب سوال صفحه ۱۰ ریاضیات گسسته

با توجه به تعریف عاد کردن، پاسخ را مرحله به مرحله می‌نویسیم.

الف) اگر \(a|b\) باشد، طبق تعریف عددی صحیح مانند \(q\) وجود دارد که \(b=aq\).

\[a | b \Rightarrow b = aq \overset{\text{در } k \text{ ضرب}}{\Rightarrow} kb = kaq \Rightarrow ka | kb\]

زیرا \(kq\) عددی صحیح است و \(kb = (ka)(q)\) یعنی \(ka\) عدد \(kb\) را عاد می‌کند. پس از \(a|b\) نتیجه می‌شود \(ka|kb\).

ب) اگر \(ka|kb\) باشد، عددی صحیح مانند \(q\) وجود دارد که \(kb=kaq\).

\[ka | kb \Rightarrow kb = kaq \overset{\text{بر } k \text{ تقسیم}}{\Rightarrow} b = aq \Rightarrow a | b\]

در این مرحله باید \(k\neq 0\) باشد، زیرا فقط در این صورت می‌توان دو طرف تساوی را بر \(k\) تقسیم کرد. پس از \(ka|kb\) با شرط \(k\neq 0\) نتیجه می‌شود \(a|b\).

نتیجه: برای \(k\in\mathbb{Z}\)، اگر \(a|b\) آنگاه \(ka|kb\)، و اگر \(ka|kb\) و \(k\neq 0\) آنگاه \(a|b\).